author=laehnemann title=V6 ===== V6 - Versuchsanleitung ===== ^V6 | ELEKTRISCHER WIDERSTAND | ===== Einleitung ===== Dieser Versuch soll Ihnen die elektrischen Größen Stromstärke, Spannung und Widerstand veranschaulichen und einfache Methoden ihrer Bestimmung aufzeigen. Aus dem Umgang mit elektrischem Strom im Haushalt wird jeder Begriffe wie Spannung und Strom kennen; wäre es aber möglich, ein dlektrisches Gerät mit 2 kW Leistung an eind Steckdose anzuschliessen, die mit einer 10 A Sicherung abgesichert ist? Wieviel Strom (genauer Energie) wird es verbrauchen? Im Organismus haben wir es mit einer Vielzahl von elektrischen Vorgängen zu tun: Nervenzellen beispielsweise besitzen ein negatives Ruhemembranpotential von 70-80 mV; die Nervenleitung ist das Resultat einer kurzfristigen Ionenverschiebung über die Zellmembran. Auch in der medizinischen Diagnostik beruhen zahlreiche Verfahren auf der Registrierung von Spannungen: EKG (Elektrokardiogramm), EEG (Elektroenzephalographie), ERG (Elektroretinographie), EMG (Elektromyographie). Anwendungsbeispiele elektrischer Ströme in der Medizin: Defibrillation, Konversion, Herzschrittmacher. Widerstandsmessung der Haut: Hautgalvanische Reaktion (HGR) als psycho-vegetatives Maß. ===== Aufgabenstellung ===== **1. Strom- und Spannungsmessung an zwei Widerständen**\\ Es soll ein einfacher Stromkreis bestehend aus einer Spannungsquelle, einem oder zwei Widerständen R_{x1} bzw. R_{x2} und Messgeräten für Strom I und Spannung U aufgebaut werden (siehe Abbildung 1).\\ Die Messwerte für U und I in Abhängigkeit von R_x werden in tabellarischer Form (siehe Tabelle 1) im Protokoll notiert. {{:v6_1.png|Abbildung 1}}\\ //Abbildung 1: Stromkreis zur Bestimmung des Stroms //I// und des Spannungsabfalls //U// am Widerstand //R_x. **2. Bestimmung des Widerstands**\\ - Bestimmen Sie jeweils die Einzelwiderstände R_{x1} und R_{x2} aus Messungen von Strom I und Spannung U. - Bestimmen Sie den Widerstand der in Serie (Reihe) geschalteten Widerstände R_{x1} und R_{x2} (siehe Abbildung 2A). - Bestimmen Sie den Widerstand der parallel geschalteten Widerstände R_{x1} und R_{x2} (siehe Abbildung 2B). {{:v6_2.png|Abbildung 2}}\\ //Abbildung 2: (A) Serienschaltung (Reihenschaltung) zweier Widerstände //R_{x1}// und //R_{x2}//. (B) Parallelschaltung zweier Widerstände //R_{x1}// und //R_{x2}. **3. Potentiometerschaltung und Messung von Strom und Spannung an einer Glühlampe**\\ Messen Sie den Strom I und die Spannung U anhand des in Abbildung 3 dargestellten Schaltkreises und erstellen Sie ein I(U)-Diagramm (Kennlinie). Wie verhält sich der Widerstand R der Metallfadenlampe mit zunehmender Temperatur? {{:v6_3.png|Abbildung 3}}\\ //Abbildung 3: Schaltkreis zur Messung von Strom und Spannung an einer Glühlampe. P = Potentiometer.// **4. Präzisionsmessung von Widerständen mit Hilfe der Wheatstoneschen Brücke**\\ Es sollen zwei Widerstände R_x = R_{x1} und R_x = R_{x2} mit Hilfe des in Abbildung 4 dargestellten Schaltkreises bestimmt werden. Vergleichen Sie die Messergebnisse mit denen aus Aufgabenteil 1 und überlegen Sie wovon die Genauigkeit der beiden Messmethoden abhängt. {{:v6_4.png|Abbildung 4}}\\ //Abbildung 4: Schaltkreis zur Präzisionsmessung des Widerstands //R_x. R_{V}// ist ein Vergleichswiderstand.// ===== Versuchsdurchführung ===== === 1. Zur Strom- und Spannungsmessung an Widerständen === Als Messgeräte werden im Praktikum sogenannte Multimeter verwendet. Mit ihnen können verschiedene elektrische Größen wie z.B. der Strom, die Spannung und auch Ohmsche Widerstände gemessen werden. Beim Anschluss der Geräte achte man auf * die Messgröße (Gleichstrom/Wechselstrom bzw. Gleichspannung/Wechselspannung) und den Messbereich. Man schätzt die Höhe der maximal zu erwartenden Spannungen und Ströme ab, wählt zunächst einen höheren Messbereich und kann später auf empfindlichere Bereiche umschalten. Der Messbereich entspricht der Anzeige bei Vollausschlag. Achten Sie auf die zugehörige Teilung (30 oder 100 Einheiten) und lesen Sie parallaxenfrei ab. * die Polung der Messgeräte (Plus mit Plus, Minus mit Minus verbinden!). Zeichnen Sie die richtige Polung von Spannungsquelle und Messgerät in die Schaltskizze ein. Der Innenwiderstand bei der Spannungsmessung beträgt R_{i} = 40~\mathrm{k}\Omega/\mathrm{V}, also 120~\mathrm{k}\Omega im 3-V-Bereich. Der Strom, der durch das Instrument fließt, ist daher im Vergleich zum Strom, der durch den Widerstand R_x fließt, zu vernachlässigen. **2. Zur Bestimmung des Widerstands** Die Ergebnisse aus den Aufgabenteilen 1 und 2 können in der folgenden Tabelle notiert werden. //Tabelle 1: Auswertung von Aufgabenteil 1 und 2://\\ ^ ^ \qquad~U~\qquad ^ \qquad~I~\qquad ^ R_x = U/I ^ R_x ^ ^ R_x = R_{x1} | | | | 39~\Omega \pm 5~\% (Herstellerangabe) | ^ R_x = R_{x2} | | | | 68~\Omega \pm 5~\% (Herstellerangabe) | ^ Serienschaltung | | | | | ^ Parallelschaltung | | | | | Verwenden Sie zur Berechnung des Gesamtwiderstands R_x im Falle der Serienschaltung von R_{x1} und R_{x2} (siehe Abbildung 2A) die Beziehung $\begin{align*} R_x = R_{x1} + R_{x2} , \end{align*}$ (1) und im Falle der Parallelschaltung von R_{x1} und R_{x2} (siehe Abbildung 2B) die Beziehung $\begin{align*} \frac{1}{R_{x}} = \frac{1}{R_{x1}} + \frac{1}{R_{x2}}\, . \end{align*}$ (2) === 3. Zur Potentiometerschaltung und Messung von Strom und Spannung an einer Glühlampe === Entscheiden Sie sich wie die Spannungsquelle gepolt werden soll und bestimmen Sie entsprechend der Skizze (Abbildung 3) wie die Polung der Messgeräte zu erfolgen hat. Es sollen mindestens sechs Messwerte für Strom und Spannung ermittelt werden. Auf Millimeterpapier (in den Praktikumsräumen erhältlich) werden Achsen mit geeignetem Maßstab (Spannung U als Abszisse, Strom I als Ordinate) gewählt, die Messwerte eingetragen und eine Ausgleichskurve eingezeichnet. === 4. Zur Präzisionsmessung von Widerständen === Bei der praktischen Ausführung der Wheatstoneschen Messbrücke sind R_{a} und R_{b} in Abbildung 4 durch einen Schiebewiderstand ersetzt (siehe Abbildung 5). Er besteht aus einem 100~\mathrm{cm} langen Draht mit verschiebbarem Schleifkontakt S, mit dem das Instrument auf Stromlosigkeit (I = 0) geregelt wird. {{:v6_5.png|Abbildung 5}}\\ //Abbildung 5: Schaltkreis zur Präzisionsmessung eines unbekannten Widerstands //R_x. R_{V}// ist ein bekannter Vergleichswiderstand, //a// und //b// sind Drahtlängen bei entsprechender Einstellung des Schleifkontakts S.// Dann gilt $\begin{align*} R_x = R_{V} \cdot \frac{R_{a}}{R_{b}} = R_{V} \cdot \frac{a}{b} ,\end{align*} $ (3) mit R_{a} = \rho \cdot a/A und R_{b} = \rho \cdot b/A. \rho ist der spezifische Widerstand des Schleifdrahts und A ist die Drahtquerschnittsfläche. Das Längenverhältnis a/b kann direkt auf einer zweiten Skala am Schiebewiderstand abgelesen werden. R_{S} ist ein im Instrument eingebauter Schutzwiderstand, der zur Feineinstellung durch den Taster K überbrückt werden kann. Als R_{V} benützen Sie einen Stöpsel-Rheostaten (siehe Abbildung 6). R_{V} ist dabei die Summe der nicht durch Stöpsel kurzgeschlossenen Widerstände. Stecken Sie niemals alle Stöpsel gleichzeitig ein, da sonst Kurzschlussgefahr droht! {{:v6_6.png|Abbildung 6}}\\ //Abbildung 6: Schematische Darstellung eines Stöpsel-Rheostaten.// Bauen Sie die Brückenschaltung systematisch nach der Abbildung 5 auf. Stellen Sie den Schleifer S etwa auf Schleifdrahtmitte (a \approx b). Nach dem Einschalten wird das Strommessinstrument in der Regel bis zum Skalenende ausschlagen. Ziehen Sie so viele Stöpsel des Rheostaten, bis das Instrument nur wenig Stromfluss anzeigt. Mit dem Schleifer regeln Sie nun auf Stromlosigkeit (I = 0). Zur Empfindlichkeitserhöhung betätigen Sie den Taster K und gleichen fein ab. Tragen Sie die Werte für R_{V} und a/b in tabellarischer Form (siehe Tabelle 2) in Ihr Protokollheft ein. //Tabelle 2: Auswertung von Aufgabenteil 4://\\ ^ ^ R_{V} ^ a/b ^ R_x = R_{V} \cdot a/b ^ R_x (aus Aufgabenteil 1) ^ ^ R_{x1} | | | | | ^ R_{x2} | | | | | ===== Stichwörter zum vorliegenden Versuch ===== === Elektrischer Strom === Unter elektrischem Strom wird die Bewegung von elektrischen Ladungen verstanden. In Metallen sind Elektronen die Träger dieser Ladung. Eine Stromleitung ist auch durch Ionen möglich (z.B. in Lösungen und Gasen). Als technische Stromrichtung vereinbart ist die Richtung Pluspol \right Minuspol, also entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung der Elektronen. === Stromstärke === Die Stromstärke I ist die durch eine Querschnittsfläche A pro Zeitintervall \Delta t fließende Ladungsmenge \Delta Q. Verändert sich der Strom während des Zeitintervalls \Delta t, so verkleinert man \Delta t so lange, bis der Strom als konstant angenommen werden kann. Die Stromstärke eines zeitlich veränderlichen Stroms in einem Leiter zur Zeit t ist also die Ladungsmenge {d}Q, die in einem infinitesimal kleinen Zeitintervall {d}t durch den Leiterquerschnitt fließt: $\begin{align*} \mathrm{Elektrische~Stromstärke} = \frac{ \mathrm{Ladung} }{ \mathrm{Zeit} } \end{align*}$ (4) $\begin{align*} I = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta Q}{\Delta t} = \frac{{d}Q}{{d}t} \end{align*}$ (5) Die Stromstärke ist eine SI-Basisgröße. Die SI-Einheit des elektrischen Stroms I ist das Ampere (A): [I] = 1~\mathrm{A}. === Gleichstrom === Stromrichtung (Polarität) und Stromstärke I sind zeitlich konstant. Es folgt dann aus (5): I = Q/t. === Wechselstrom === Stromrichtung und Stromstärke I ändern sich zeitlich periodisch. === Elektrische Spannung === Anschaulich: Antriebsgröße für das Fließen des elektrischen Stroms. Damit überhaupt ein Strom fließen kann, bedarf es einer Ursache, einer Potentialdifferenz zwischen zwei Polen einer Spannungsquelle. An dem einen Pol der Quelle besteht Elektronenmangel (positiv), und an dem anderen Pol besteht Elektronenüberschuss (negativ). Die Potentialdifferenz bezeichnet man als elektrische Spannung. Die SI-Einheit der elektrischen Spannung U ist das Volt (V): [U] = 1~\mathrm{V}. 1 V beträgt die Spannung, wenn für die Verschiebung einer Ladung Q = 1~\mathrm{C} die Arbeit W = 1~\mathrm{J} aufgewendet werden muss. === Elektrischer Widerstand === Jeder Leiter besitzt einen elektrischen Widerstand; der hindurchfließende Strom verliert einen Teil seiner Energie, die in Wärme umgesetzt wird. Der Widerstand R ist das Verhältnis von Spannung U zu Stromstärke I : $\begin{align*} R = \frac{U}{I} . \end{align*}$ (6) Die SI-Einheit für den elektrischen Widerstand R ist das Ohm (\Omega): [R] = 1~\Omega. Verhalten sich Spannung und Stromstärke bei konstanter Temperatur T zueinander proportional, so handelt es sich um einen Ohmschen Widerstand; R ist dann konstant. Es gilt dann das Ohmsche Gesetz: I \sim U bzw. R = {const.}, wobei \Delta T = 0. Metalle sind in guter Näherung Ohmsche Widerstände. === Widerstand eines Drahts === Der Widerstand eines Metalldrahts ist proportional zur Drahtlänge l und umgekehrt proportional dem Drahtquerschnitt A . Die Proportionalitätskonstante ist der spezifische Widerstand \rho: $\begin{align*} R = \rho \cdot \frac{l}{A} . \end{align*}$ (7) Der spezifische Widerstand ist eine materialabhängige Größe (siehe Tabelle 3), die unabhängig von der Geometrie des Leiters ist. //Tabelle 3: Spezifischer Widerstand einiger Metalle, Legierungen und Isolatoren bei //20~^{\circ}\mathrm{C}\\ ^ Material ^ \rho~[\Omega {m}] ^ | Silber | 1.6 \cdot 10^{-8} | | Kupfer | 1.7 \cdot 10^{-8} | | Aluminium | 2.8 \cdot 10^{-8} | | Wolfram | 5.5 \cdot 10^{-8} | | Eisen | 9.9 \cdot 10^{-8} | | Blei | 2.1 \cdot 10^{-7} | | Konstantan | 4.4 \cdot 10^{-7} | | Chromnickel | 1.1 \cdot 10^{-6} | | Holz (trocken) | 10^{9} \cdot 10^{13} | | Glas | 10^{11} \cdot 10^{12} | | Hartgummi | 10^{13} \cdot 10^{16} | | Quarzglas | 10^{13} \cdot 10^{15} | === Elektrische Leistung === Die elektrische Leistung P ist das Produkt aus Spannung U und Stromstärke I : $\begin{align*} P = U \cdot I . \end{align*}$ (8) Die SI-Einheit für die elektrische Leistung ist das Watt (W): [P] = 1~\mathrm{VA} = 1~\mathrm{W} = 1~\mathrm{J/s}. === Elektrische Arbeit === Bei zeitlich konstanter Leistung ist die elektrische Arbeit W das Produkt aus elektrischer Leistung P und Zeit t : $\begin{align*} W = P \cdot t . \end{align*}$ (9) Die SI-Einheit für die elektrische Arbeit ist das Joule (J): [W] = 1 ~\mathrm{Ws} = 1 ~\mathrm{Nm} = 1 ~\mathrm{J}. === Einfacher elektrischer Stromkreis === Ein einfacher elektrischer Stromkreis besteht aus einer Spannungsquelle und einem Verbraucher (z.B. ein elektrischer Widerstand R , siehe Abbildung 7). Übertragen auf einen Flüssigkeitsstromkreis entspricht die Spannungsquelle einer Pumpe, die eine Druckdifferenz \Delta p erzeugt (siehe Abbildung 8). Der Verbraucher ist hier z.B. ein Strömungswiderstand R . {{:v6_7.png|Abbildung 7}}\\ //Abbildung 7: Elektrischer Stromkreis.// {{:v6_8.png|Abbildung 8}}\\ //Abbildung 8: Flüssigkeitsstromkreis.// === Knotenregel === An einem Verbindungspunkt von Leitern (Knoten) ist die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme (siehe Abbildung 9): I_{1} + I_{2} = I_{3}. {{:v6_9.png|Abbildung 9}}\\ //Abbildung 9: Verbindungspunkt (Knoten).// === Messung der Spannung === Ein Spannungsmesser wird parallel zum Messobjekt geschaltet (siehe Abbildung 10). Ein Messgerät zur Messung von Spannungen sollte einen hohen Innenwiderstand R_{i} haben: R_{i} \gg R. {{:v6_10.png|Abbildung 10}}\\ //Abbildung 10: Messung des Spannungsabfalls //U // am Widerstand// R . === Messung der Stromstärke === Ein Strommesser wird in Reihe zum Messobjekt geschaltet (siehe Abbildung 11). Messgeräte zur Messung der Stromstärke I sollten einen niedrigen Innenwiderstand R_{i} besitzen: R_{i} \to 0. {{:v6_11.png|Abbildung 11}}\\ //Abbildung 11: Messung der Stromstärke //I // in einem Stromkreis.// === Gleichzeitige Messung von Stromstärke und Spannung === Bei der gleichzeitigen Messung von Stromstärke und Spannung in einem Stromkreis (siehe Abbildung 12) tritt ein systematischer Fehler bei der Strommessung durch den Innenwiderstand R_{i} des Spannungsmessers auf. {{:v6_12.png|Abbildung 12}}\\ //Abbildung 12: Schaltung 1.// {{:v6_13.png|Abbildung 13}}\\ //Abbildung 13: Schaltung 2.// Welchen Nachteil hat die in Abbildung 13 dargestellte Schaltung zur gleichzeitigen Messung von Strom und Spannung? === Serienschaltung von Widerständen === Bei einer Serienschaltung von elektrischen Widerständen (siehe Abbildung 14) entspricht der Gesamtwiderstand R_{s} der Summe der Einzelwiderstände R_{i}: $\begin{align*} R_{s} = \sum_{i=1}^{n} R_{i} = R_{1} + R_{2} + \ldots + R_{n} . \end{align*}$ (10) {{:v6_14.png|Abbildung 14}}\\ //Abbildung 14: Serienschaltung von Widerständen.// === Parallelschaltung von Widerständen === Parallel geschaltete Widerstände (siehe Abbildung 15) addieren sich reziprok: $\begin{align*} \frac{1}{R_{p}} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{R_{i}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \ldots + \frac{1}{R_{n}} . \end{align*}$ (11) {{:v6_15.png|Abbildung 15}}\\ //Abbildung 15: Parallelschaltung von Widerständen.// === Spannungsteiler === Betrachtet man den in Abbildung 16 dargestellten Schaltkreis, so folgt für die Stromstärke: $\begin{align*} I = \frac{U_{0}}{R_{s}} = \frac{U_{0}}{R_{1}} + R_{2} = \frac{U_{2}}{R_{2}} = \frac{U_{1}}{R_{1}} \end{align*}$ (12) {{:v6_16.png|Abbildung 16}}\\ //Abbildung 16: Spannungsteilung. P = Potentiometer.// Durch Umformung von (12) folgt dann: $\begin{align*}\frac{U_{2}}{U_{0}} & = \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}}\\ \frac{\mathrm{Teilspannung}}{\mathrm{Gesamtspannung}} & = \frac{\mathrm{Teilwiderstand}}{\mathrm{Gesamtwiderstand}}\end{align*}$ (13) Werden R_{1} und R_{2} durch ein Potentiometer P (Widerstand mit variablem Abgriff) ersetzt, so kann U_{2} kontinuierlich zwischen Null und U_{0} variiert werden. === Wheatstonesche Brücke === Zeigt das Stromstärkemessinstrument der Wheatstoneschen Brücke (siehe Abbildung 17) keinen Strom (I = 0), dann besteht zwischen den Punkten P₃ und P₄ keine Potentialdifferenz. Die Beziehung zwischen den vier Widerständen ist dann besonders einfach, weil an R_x und R_{a} gleiche Spannungen U_x bzw. U_{a} abfallen: U_x = U_{a}. Ebenso gilt dann für R_{V} und R_{b}: U_{V} = U_{b}. {{:v6_17.png|Abbildung 17}}\\ //Abbildung 17: Wheatstonesche Brücke. //I_{xV}// und //I_{ab}// sind die Ströme durch den oberen bzw. unteren Zweig der Schaltung.// Die Definitionsgleichung für den elektrischen Widerstand liefert: $\begin{align*} U_x = U_{a} \to& I_{xV} \cdot R_x = I_{ab} \cdot R_{a}\\ U_{V} = U_{b} \to& I_{xV} \cdot R_{V} = I_{ab} \cdot R_{b}\\ & \multicolumn{1}{c}{\hrulefill} \\ \to& R_x / R_{V} = R_{a} / R_{b} \end{align*}$ Sind drei Widerstände bekannt, dann kann also der vierte (unbekannte) Widerstand im Fall der Stromlosigkeit nach R_x = R_{V} R_{a}/R_{b} berechnet werden.