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v5_thermische_isolierung [2009/04/21 11:44] – laehnemann | v5_thermische_isolierung [2009/04/21 12:01] (current) – laehnemann |
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Das Ziel des Versuchs ist es, aus den verschiedenen Geschwindigkeiten, mit denen sich das Wasser in den Gefäßen abkühlt, abzuschätzen, wie viel die einzelnen Mechanismen (Konvektion, | Das Ziel des Versuchs ist es, aus den verschiedenen Geschwindigkeiten, mit denen sich das Wasser in den Gefäßen abkühlt, abzuschätzen, wie viel die einzelnen Mechanismen (Konvektion, |
Wärmeleitung und Wärmestrahlung) zum Temperaturausgleich beitragen. | Wärmeleitung und Wärmestrahlung) zum Temperaturausgleich beitragen. |
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==== Grundlagen ===== | ==== Grundlagen ===== |
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Da die Abkühlungsgeschwindigkeit eines Körpers nur von der Temperaturdifferenz zu seiner Umgebung abhängt, ist es zweckmäßig, mit der zeitabhängigen Differenz zwischen Wassertemperatur <latex>T(t)</latex> und Umgebungstemperatur <latex>T_U</latex>, der so genannten Übertemperatur <latex>\theta(t) = T(t) - T_{U}</latex>, zu rechnen. | Da die Abkühlgeschwindigkeit eines Körpers nur von der Temperaturdifferenz zu seiner Umgebung abhängt, ist es zweckmäßig, mit der zeitabhängigen Differenz zwischen Wassertemperatur <latex>T(t)</latex> und Umgebungstemperatur <latex>T_U</latex>, der so genannten Übertemperatur <latex>\theta(t) = T(t) - T_{U}</latex>, zu rechnen. |
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Ein Körper kühlt umso schneller ab, je größer die Temperaturdifferenz zur Umgebung ist: | Ein Körper kühlt umso schneller ab, je größer die Temperaturdifferenz zur Umgebung ist: |
\end{align*}$ </latex> (1) | \end{align*}$ </latex> (1) |
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Diese Proportionalität lässt sich mematisch durch die Gleichung | Diese Proportionalität lässt sich mathematisch durch die Gleichung |
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<latex> $\begin{align*} | <latex> $\begin{align*} |
beschreiben. | beschreiben. |
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Das Minuszeichen besagt bei positiv eingeführter Konstante <latex>a</latex>, dass es sich mit fortschreitender Zeit um eine Abnahme der Temperatur handelt (<latex>dt > 0</latex> und <latex>d\theta < 0</latex>). Eine Funktion, die die Gleichung (2) erfüllt, ist die Exponentialfunktion | Das Minuszeichen besagt bei positiv eingeführter Konstante <latex> a </latex>, dass es sich mit fortschreitender Zeit um eine Abnahme der Temperatur handelt (<latex>dt > 0</latex> und <latex>d\theta < 0</latex>). Gleichung (2) wird durch die Exponentialfunktion erfüllt: |
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<latex> $\begin{align*} | <latex> $\begin{align*} |
Trägt man für die vier Gefäße die gemessenen Übertemperaturen als Funktion der Zeit <latex>t</latex> auf, sollten sich fallende Exponentialfunktionen ergeben, die umso flacher verlaufen, je besser die Isolierung des jeweiligen Gefäßes ist (siehe Abbildung 1A). | Trägt man für die vier Gefäße die gemessenen Übertemperaturen als Funktion der Zeit <latex>t</latex> auf, sollten sich fallende Exponentialfunktionen ergeben, die umso flacher verlaufen, je besser die Isolierung des jeweiligen Gefäßes ist (siehe Abbildung 1A). |
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Ein Maß für die Wirksamkeit der Isolierung ist die Konstante <latex>a</latex> in der Exponentialfunktion in (3); sie gibt an, wie schnell die Temperatur mit der Zeit abfällt. | Ein Maß für die Wirksamkeit der Isolierung ist die Konstante <latex> a </latex> in der Exponentialfunktion in (3); sie gibt an, wie schnell die Temperatur mit der Zeit abfällt. Diese Konstante <latex> a </latex> heißt deshalb Abkühlrate; ihre Einheit ist <latex>[a] = \mathrm{min}^{-1}</latex>. |
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Die Konstante <latex>a</latex> heißt Abkühlrate; ihre Einheit ist <latex>[a] = \mathrm{min}^{-1}</latex>. | |
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{{:v5_1.png|Abbildung 1:}}\\ | {{:v5_1.png|Abbildung 1:}}\\ |
//Abbildung 1: (A) Graphische Darstellung der Exponentialfunktion// <latex>\theta_{i}(t) = \theta(0) \cdot e^{-a_{i} \cdot t}</latex> //für vier verschiedene Werte// <latex>a_{1} > a_{2} > a_{3} > a_{4}</latex>//. (B) Auftragung der Funktionen// <latex>\ln{{(\theta_{i}(t)}/{\theta(0))}</latex>// gegen die Zeit// <latex>t</latex>. | //Abbildung 1: (A) Graphische Darstellung der Exponentialfunktion// <latex>\theta_{i}(t) = \theta(0) \cdot e^{-a_{i} \cdot t}</latex> //für vier verschiedene Werte// <latex>a_{1} > a_{2} > a_{3} > a_{4}</latex>//. (B) Auftragung der Funktionen// <latex>\ln{{(\theta_{i}(t)}/{\theta(0))}</latex>// gegen die Zeit// <latex> t </latex>. |
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Da man aus der graphischen Darstellung der Exponentialfunktion die Konstante <latex>a</latex> schlecht ablesen kann, bedient man sich einer mematischen Umformung, durch die sich der Abkühlprozess linear (d.h. als Gerade) darstellen lässt (siehe Abbildung 1B). | Da man aus der graphischen Darstellung der Exponentialfunktion die Konstante <latex> a </latex> schlecht ablesen kann, bedient man sich einer mathematischen Umformung, durch die sich der Abkühlprozess linear (d.h. als Gerade) darstellen lässt (siehe Abbildung 1B). |
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Aus (3) folgt durch Umformung und anschließender Logarithmierung: | Aus (3) folgt durch Umformung und anschließender Logarithmierung: |
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<latex> $\begin{align*} | <latex> $\begin{align*} |
\ln(\frac{\theta(t)}{\theta(0)}) = - a \cdot t . | \ln\left(\frac{\theta(t)}{\theta(0)}\right) = - a \cdot t . |
\end{align*}$ </latex> (5) | \end{align*}$ </latex> (5) |
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Als Steigung der Geraden erhält man die negativen Abkühlraten <latex>-a_{1}, \ldots, -a_{4}</latex> der vier verschiedenen Gefäße (die Steigungsdreiecke zur Bestimmung der Geradensteigung sollten möglichst groß sein, damit die Fehler von <latex>a_{1}, \ldots, a_{4}</latex> klein bleiben, vgl. Übung Ü2). | Als Steigung der Geraden erhält man die negativen Abkühlraten <latex>-a_{1}, \ldots, -a_{4}</latex> der vier verschiedenen Gefäße (die Steigungsdreiecke zur Bestimmung der Geradensteigung sollten möglichst groß sein, damit die Fehler von <latex>a_{1}, \ldots, a_{4}</latex> klein bleiben, vgl. Übung Ü2). |
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Die Wärmeenergie <latex>Q</latex>, die ein Körper der Masse <latex>m</latex> und der spezifischen Wärmekapazität <latex>c</latex> abgibt, wenn er sich um eine Temperaturdifferenz <latex>\theta</latex> abkühlt, ist | Die Wärmeenergie <latex> Q </latex>, die ein Körper der Masse <latex> m </latex> und der spezifischen Wärmekapazität <latex> c </latex> abgibt, wenn er sich um eine Temperaturdifferenz <latex>\theta</latex> abkühlt, ist |
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<latex> $\begin{align*} | <latex> $\begin{align*} |
ergibt den durch Konvektion verursachten Wärmestrom <latex>dQ_{K}/dt</latex>, der der Differenz der | ergibt den durch Konvektion verursachten Wärmestrom <latex>dQ_{K}/dt</latex>, der der Differenz der |
Abkühlraten proportional ist. Entsprechend kann man die anderen Wärmeströme <latex>dQ_{L}/dt</latex> (Wärmeleitung) und <latex>dQ_{S}/dt</latex> (Wärmestrahlung) ermitteln. | Abkühlraten proportional ist. Entsprechend kann man die anderen Wärmeströme <latex>dQ_{L}/dt</latex> (Wärmeleitung) und <latex>dQ_{S}/dt</latex> (Wärmestrahlung) ermitteln. |
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==== Aufgabenstellung ==== | ==== Aufgabenstellung ==== |
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