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v5_thermische_isolierung

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v5_thermische_isolierung [2009/04/21 13:44]
laehnemann
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laehnemann
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 Das Ziel des Versuchs ist es, aus den verschiedenen Geschwindigkeiten,​ mit denen sich das Wasser in den Gefäßen abkühlt, abzuschätzen,​ wie viel die einzelnen Mechanismen (Konvektion, ​ Das Ziel des Versuchs ist es, aus den verschiedenen Geschwindigkeiten,​ mit denen sich das Wasser in den Gefäßen abkühlt, abzuschätzen,​ wie viel die einzelnen Mechanismen (Konvektion, ​
 Wärmeleitung und Wärmestrahlung) zum Temperaturausgleich beitragen. Wärmeleitung und Wärmestrahlung) zum Temperaturausgleich beitragen.
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 ==== Grundlagen ===== ==== Grundlagen =====
  
-Da die Abkühlungsgeschwindigkeit ​eines Körpers nur von der Temperaturdifferenz zu seiner Umgebung abhängt, ist es zweckmäßig,​ mit der zeitabhängigen Differenz zwischen Wassertemperatur <​latex>​T(t)</​latex>​ und Umgebungstemperatur <​latex>​T_U</​latex>,​ der so genannten Übertemperatur <​latex>​\theta(t) = T(t) - T_{U}</​latex>,​ zu rechnen.+Da die Abkühlgeschwindigkeit ​eines Körpers nur von der Temperaturdifferenz zu seiner Umgebung abhängt, ist es zweckmäßig,​ mit der zeitabhängigen Differenz zwischen Wassertemperatur <​latex>​T(t)</​latex>​ und Umgebungstemperatur <​latex>​T_U</​latex>,​ der so genannten Übertemperatur <​latex>​\theta(t) = T(t) - T_{U}</​latex>,​ zu rechnen.
  
 Ein Körper kühlt umso schneller ab, je größer die Temperaturdifferenz zur Umgebung ist: Ein Körper kühlt umso schneller ab, je größer die Temperaturdifferenz zur Umgebung ist:
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 \end{align*}$ </​latex>​ (1) \end{align*}$ </​latex>​ (1)
  
-Diese Proportionalität ​ lässt sich mematisch ​durch die Gleichung+Diese Proportionalität lässt sich mathematisch ​durch die Gleichung
  
 <​latex>​ $\begin{align*} <​latex>​ $\begin{align*}
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 beschreiben. beschreiben.
  
-Das Minuszeichen besagt bei positiv eingeführter Konstante <​latex>​a</​latex>,​ dass es sich mit fortschreitender Zeit um eine Abnahme der Temperatur handelt (<​latex>​dt > 0</​latex>​ und <​latex>​d\theta < 0</​latex>​). ​Eine Funktion, die die Gleichung (2) erfüllt, ist die Exponentialfunktion+Das Minuszeichen besagt bei positiv eingeführter Konstante <​latex>​ a </​latex>,​ dass es sich mit fortschreitender Zeit um eine Abnahme der Temperatur handelt (<​latex>​dt > 0</​latex>​ und <​latex>​d\theta < 0</​latex>​). Gleichung (2) wird durch die Exponentialfunktion ​erfüllt:
  
 <​latex>​ $\begin{align*} <​latex>​ $\begin{align*}
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 Trägt man für die vier Gefäße die gemessenen Übertemperaturen als Funktion der Zeit <​latex>​t</​latex>​ auf, sollten sich fallende Exponentialfunktionen ergeben, die umso flacher verlaufen, je besser die Isolierung des jeweiligen Gefäßes ist (siehe Abbildung 1A). Trägt man für die vier Gefäße die gemessenen Übertemperaturen als Funktion der Zeit <​latex>​t</​latex>​ auf, sollten sich fallende Exponentialfunktionen ergeben, die umso flacher verlaufen, je besser die Isolierung des jeweiligen Gefäßes ist (siehe Abbildung 1A).
  
-Ein Maß für die Wirksamkeit der Isolierung ist die Konstante <​latex>​a</​latex>​ in der Exponentialfunktion in (3); sie gibt an, wie schnell die Temperatur mit der Zeit abfällt. +Ein Maß für die Wirksamkeit der Isolierung ist die Konstante <​latex>​ a </​latex>​ in der Exponentialfunktion in (3); sie gibt an, wie schnell die Temperatur mit der Zeit abfällt. ​Diese Konstante <​latex>​ a </​latex>​ heißt ​deshalb ​Abkühlrate;​ ihre Einheit ist <​latex>​[a] = \mathrm{min}^{-1}</​latex>​.
- +
-Die Konstante <​latex>​a</​latex>​ heißt Abkühlrate;​ ihre Einheit ist <​latex>​[a] = \mathrm{min}^{-1}</​latex>​.+
  
 {{:​v5_1.png|Abbildung 1:}}\\ {{:​v5_1.png|Abbildung 1:}}\\
-//Abbildung 1: (A) Graphische Darstellung der Exponentialfunktion//​ <​latex>​\theta_{i}(t) = \theta(0) \cdot e^{-a_{i} \cdot t}</​latex>​ //für vier verschiedene Werte// <​latex>​a_{1} > a_{2} > a_{3} > a_{4}</​latex>//​. (B) Auftragung der Funktionen//​ <​latex>​\ln{{(\theta_{i}(t)}/​{\theta(0))}</​latex>//​ gegen die Zeit// <​latex>​t</​latex>​.+//Abbildung 1: (A) Graphische Darstellung der Exponentialfunktion//​ <​latex>​\theta_{i}(t) = \theta(0) \cdot e^{-a_{i} \cdot t}</​latex>​ //für vier verschiedene Werte// <​latex>​a_{1} > a_{2} > a_{3} > a_{4}</​latex>//​. (B) Auftragung der Funktionen//​ <​latex>​\ln{{(\theta_{i}(t)}/​{\theta(0))}</​latex>//​ gegen die Zeit// <​latex>​ t </​latex>​.
  
-Da man aus der graphischen Darstellung der Exponentialfunktion die Konstante <​latex>​a</​latex>​ schlecht ablesen kann, bedient man sich einer mematischen ​Umformung, durch die sich der Abkühlprozess linear (d.h. als Gerade) darstellen lässt (siehe Abbildung 1B).+Da man aus der graphischen Darstellung der Exponentialfunktion die Konstante <​latex>​ a </​latex>​ schlecht ablesen kann, bedient man sich einer mathematischen ​Umformung, durch die sich der Abkühlprozess linear (d.h. als Gerade) darstellen lässt (siehe Abbildung 1B).
  
 Aus (3) folgt durch Umformung und anschließender Logarithmierung:​ Aus (3) folgt durch Umformung und anschließender Logarithmierung:​
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 <​latex>​ $\begin{align*} <​latex>​ $\begin{align*}
-\ln(\frac{\theta(t)}{\theta(0)}) = - a \cdot t .+\ln\left(\frac{\theta(t)}{\theta(0)}\right) = - a \cdot t .
 \end{align*}$ </​latex>​ (5) \end{align*}$ </​latex>​ (5)
  
 Als Steigung der Geraden erhält man die negativen Abkühlraten <​latex>​-a_{1},​ \ldots, -a_{4}</​latex>​ der vier verschiedenen Gefäße (die Steigungsdreiecke zur Bestimmung der Geradensteigung sollten möglichst groß sein, damit die Fehler von <​latex>​a_{1},​ \ldots, a_{4}</​latex>​ klein bleiben, vgl. Übung Ü2). Als Steigung der Geraden erhält man die negativen Abkühlraten <​latex>​-a_{1},​ \ldots, -a_{4}</​latex>​ der vier verschiedenen Gefäße (die Steigungsdreiecke zur Bestimmung der Geradensteigung sollten möglichst groß sein, damit die Fehler von <​latex>​a_{1},​ \ldots, a_{4}</​latex>​ klein bleiben, vgl. Übung Ü2).
  
-Die Wärmeenergie <​latex>​Q</​latex>,​ die ein Körper der Masse <​latex>​m</​latex>​ und der spezifischen Wärmekapazität <​latex>​c</​latex>​ abgibt, wenn er sich um eine Temperaturdifferenz <​latex>​\theta</​latex>​ abkühlt, ist+Die Wärmeenergie <​latex>​ Q </​latex>,​ die ein Körper der Masse <​latex>​ m </​latex>​ und der spezifischen Wärmekapazität <​latex>​ c </​latex>​ abgibt, wenn er sich um eine Temperaturdifferenz <​latex>​\theta</​latex>​ abkühlt, ist
  
 <​latex>​ $\begin{align*} <​latex>​ $\begin{align*}
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 ergibt den durch Konvektion verursachten Wärmestrom <​latex>​dQ_{K}/​dt</​latex>,​ der der Differenz der  ergibt den durch Konvektion verursachten Wärmestrom <​latex>​dQ_{K}/​dt</​latex>,​ der der Differenz der 
 Abkühlraten proportional ist. Entsprechend kann man die anderen Wärmeströme <​latex>​dQ_{L}/​dt</​latex>​ (Wärmeleitung) und <​latex>​dQ_{S}/​dt</​latex>​ (Wärmestrahlung) ermitteln. Abkühlraten proportional ist. Entsprechend kann man die anderen Wärmeströme <​latex>​dQ_{L}/​dt</​latex>​ (Wärmeleitung) und <​latex>​dQ_{S}/​dt</​latex>​ (Wärmestrahlung) ermitteln.
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 ==== Aufgabenstellung ==== ==== Aufgabenstellung ====
  
v5_thermische_isolierung.txt · Last modified: 2009/04/21 14:01 by laehnemann