DokuWiki

Schwingungen sind elementare Erscheinungen in allen Bereichen der Natur. Sie spielen eine herausragende Rolle bei den Naturerscheinungen selbst als auch bei vielen Messverfahren und technisch-methodischen Anwendungen. Von den Zweigen im Wind bis zu den Molekülen und Atomen im Verband des Kristallgitters gibt es ungezählte Beispiele für schwingungsfähige Systeme. Selbst der aufrechte Gang des Menschen kann formal als Schwingungsvorgang verstanden werden. Er neigt zu kippen, merkt's sogleich, und fängt mit einer geschickten Bewegung das schwindende Gleichgewicht wieder auf. Für gewöhnlich geht diese Regelschwingung recht unauffällig gut und nimmt nur im Falle fortgeschrittenen Rausches dramatischere Amplituden an. Mit diesem Versuch sollen die Eigenschaften eines schwingenden Systems am Beispiel eines elektrischen Schwingkreises untersucht werden, da die messtechnische Darstellung einschließlich der Dämpfung in diesem Fall besonders einfach ist.

1. (Vorversuch zur gemeinsamen Durchführung und sofortigen Auswertung durch die gesamte Gruppe): Aufbau eines Schwingkreises niedriger Frequenz aus einer Spule und einem Kondensator und einem Drehspulmessinstrument zum Nachweis der zeitlich periodischen Spannung am Kondensator. Messung der Schwingungszeit mit der Stoppuhr und der Amplitudenwerte am Messinstrument. Berechnung der Induktivität L aus der Kreisfrequenz (bei bekannter Kapazität) und des Verlustwiderstandes R aus der Dämpfungskonstanten.

1. (Schwingkreis): Periodische Anregung eines Schwingkreises höherer Frequenz. Beobachtung und Messung des Schwingungsverlaufs mit dem Oszilloskop. Bestimmung der Parameter der Schwingung (Schwingungsdauer bzw. Kreisfrequenz und Dämpfungskonstante) und Vergleich mit den direkt gemessenen Daten der verwendeten Bauteile (Kapazität C des Kondensators, Induktivität L und Widerstand R der Spule).

Damit ein physikalisches System schwingen kann, müssen bestimmte Voraussetzungen erfüllt sein. Es muss eine rücktreibende Größe geben (Federpendel: Federkraft; elektrischer Schwingkreis: Kondensatorspannung), durch die das System an eine Ruhelage gebunden ist, und es muss (wenigstens) zwei Erscheinungsformen für die Energie besitzen. Unter diesen Voraussetzungen ergibt sich ein zeitlich periodischer Vorgang, der als Schwingung bezeichnet wird. Charakteristisch für Schwingungsphänomene ist, dass der Energieinhalt des Systems ständig zwischen den beiden Erscheinungsformen hin- und herflutet.

Die mathematisch einfachsten periodischen Funktionen sind die Sinus- und die Kosinusfunktion. Schwingungen, die diesen Funktionen folgen, werden als harmonische Schwingungen bezeichnet. Sie ergeben sich, wenn die rücktreibende Größe proportional zur jeweiligen Auslenkung aus der Ruhelage ist. Diese Bedingung ist zum Beispiel gut bei einer mechanischen Feder erfüllt (Hookesches Gesetz). In Abb. 1 ist der Verlauf einer sinusförmigen Schwingung wiedergegeben.

BILD EINFUEGEN

Die zeitliche Periode der Schwingung ist die Schwingungsdauer T, ihr Kehrwert die Frequenz f = 1/T . Die Frequenz gibt die Zahl der Perioden pro Zeit an; ihre Einheit 1/s wird 1 Hz (Hertz) genannt. Der Parameter im Argument der Sinus- und Kosinusfunktion ist ein Stauchfaktor in Richtung der Zeitachse, der das Verhältnis der mathematischen Grundperiode (2π) zur jeweiligen physikalischen Periode T darstellt:

Der Faktor \omega heißt Kreisfrequenz. Alle drei Angaben, T, f und ω sind äquivalente, gleichwertige Angaben zur Charakterisierung der (zeitlichen) Periode der Schwingung. Der Faktor gibt die größte Auslenkung wieder; er wird als Amplitude der Schwingung bezeichnet.

Der einfachste mechanische Oszillator ist das Federpendel (Abb. 2). Lenkt man den an eine Feder gebundenen Körper der Masse m ein Stück aus, so gewinnt er gegenüber der Ruhelage aufgrund der elastischen Verformung potentielle Energie. Beim Loslassen bewegt sich der Körper in Richtung Ruhelage zurück, und die potentielle Energie wird in kinetische Energie übergeführt. Wegen der Trägheit bewegt sich der Körper weiter über die Ruhelage hinaus und wird dann von der Feder abgebremst (verlangsamt), bis die gesamte Energie wieder in potentielle Energie übergegangen ist.

BILD EINFUEGEN

Der einfachste elektrische Oszillator ist ein Schwingkreis, der aus einer Spule und einem Kondensator besteht (Abb. 2 und 3). Ist der Kondensator aufgeladen, so bewirkt dessen Spannung einen Strom. Dieser baut in der Spule ein Magnetfeld auf, wobei die elektrische Feld­energie des Kondensators in magnetische Feldenergie der Spule umgewandelt wird. Nach dem Ladungsausgleich induziert das abnehmende Magnetfeld der Spule eine Spannung, die den Strom aufrechterhält und den Kondensator mit nunmehr umgekehrter Polarität wieder lädt. Bildhaft kann die Energie des Magnetfeldes wegen des zugrundeliegenden Stromes und der Eigenschaft, sich einer Stromänderung zu widersetzen, mit der kinetischen Energie und der Massenträgheit verglichen werden. Es ist jedoch zu beachten, dass dem nicht eine Trägheit der Bewegung der Elektronen zugrunde liegt, sondern die Eigenschaft von sich ändernden Magnetfeldern, der zugehörigen Stromänderung durch Induktion entgegenzuwirken.

BILD EINFUEGEN ABB 3

Ansätze der mathematischen Behandlung sind (u.a.) die Newtonsche Bewegungsgleichung (F = m a) beim Federpendel und die Kirchhoffsche Regel für Spannungen (∑U = 0; "Maschenregel") beim Schwingkreis. Die Kraft einer Feder ist ihrer Auslenkung x proportional (Hookesches Gesetz), der Proportionalitätsfaktor D wird Federkonstante genannt und beschreibt die Beschaffenheit der Feder:

Die Ladung Q eines Kondensators ist seiner "Größe" (der Kapazität C) und seiner Spannung UC proportional; Q = C UC. Daraus folgt mit der Definition des Stroms I = dQ/dt als Zusammenhang zwischen Strom und Spannung am Kondensator:

Durch Integration von (3) erhält man für die Spannung:

Der Spannungsabfall an einer Spule UL ist der zeitlichen Änderung des Stromes durch die Spule proportional. Aufgrund der Selbstinduktion widersetzt sich die Spule einer Stromänderung durch eine Gegenspannung (Lenzsche Regel), , die kompensiert werden muss ( ):

Der Proportionalitätsfaktor heißt Selbstinduktionskoeffizient L der Spule (oder kurz Induktivität). Ausgehend von den obigen Zusammenhängen ergeben sich folgende Herleitungen der Schwingungsgleichungen für die beiden Systeme:

mit (4) und (5) und :

bzw. nach Ableitung nach t und Umstellung:

Beide Differentialgleichungen (6,7) haben mathematisch die gleiche Form. Als Lösung wird eine Funktion x = f(t) bzw. I = f(t) gesucht, deren zweite Ableitung nach der Zeit gleich der Funktion selbst ist, aber mit umgekehrtem Vorzeichen (und bis auf einen konstanten Faktor). Diese Bedingung erfüllen die Sinus- oder Kosinusfunktionen:

(8) Federpendel:

(9) Schwingkreis:

Durch Berechnung der zweiten Ableitungen und Vergleich mit (6) und (7) folgt, dass die Ansätze (8) und (9) genau dann Lösungen darstellen, wenn die Frequenzen bestimmte, durch die physikalischen Parameter D und m bzw. L und C gegebene Werte annehmen:

bzw. <m 14>