User Tools

Site Tools


freie_gedaempfte_schwingung

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revision Previous revision
Next revision
Previous revision
freie_gedaempfte_schwingung [2009/09/16 16:49]
gorgis
freie_gedaempfte_schwingung [2009/09/16 16:59] (current)
gorgis
Line 28: Line 28:
 Die mathematisch einfachsten periodischen Funktionen sind die Sinus- und die Kosinusfunktion. Schwingungen, die diesen Funktionen folgen, werden als harmonische Schwingungen bezeichnet. Sie ergeben sich, wenn die rücktreibende Größe proportional zur jeweiligen Auslenkung aus der Ruhelage ist. Diese Bedingung ist zum Beispiel gut bei einer mechanischen Feder erfüllt (Hookesches Gesetz). In Abb. 1 ist der Verlauf einer sinusförmigen Schwingung wiedergegeben. Die mathematisch einfachsten periodischen Funktionen sind die Sinus- und die Kosinusfunktion. Schwingungen, die diesen Funktionen folgen, werden als harmonische Schwingungen bezeichnet. Sie ergeben sich, wenn die rücktreibende Größe proportional zur jeweiligen Auslenkung aus der Ruhelage ist. Diese Bedingung ist zum Beispiel gut bei einer mechanischen Feder erfüllt (Hookesches Gesetz). In Abb. 1 ist der Verlauf einer sinusförmigen Schwingung wiedergegeben.
  
-{{ :abb1-fgs.jpg?50 |Abbildung 1: Sinus Schwinung}}+{{ :abb1-fgs.jpg?500 |Abbildung 1: Verlauf einer Sinusschwingung}}
  
 Die zeitliche Periode der Schwingung ist die Schwingungsdauer //T//, ihr Kehrwert die Frequenz //f = 1/T// . Die Frequenz gibt die Zahl der Perioden pro Zeit an; ihre Einheit //1/s// wird 1 //Hz// (Hertz) genannt. Der Parameter im Argument der Sinus- und Kosinusfunktion ist ein Stauchfaktor in Richtung der Zeitachse, der das Verhältnis der mathematischen Grundperiode (2π) zur jeweiligen physikalischen Periode T darstellt: Die zeitliche Periode der Schwingung ist die Schwingungsdauer //T//, ihr Kehrwert die Frequenz //f = 1/T// . Die Frequenz gibt die Zahl der Perioden pro Zeit an; ihre Einheit //1/s// wird 1 //Hz// (Hertz) genannt. Der Parameter im Argument der Sinus- und Kosinusfunktion ist ein Stauchfaktor in Richtung der Zeitachse, der das Verhältnis der mathematischen Grundperiode (2π) zur jeweiligen physikalischen Periode T darstellt:
Line 42: Line 42:
 Der einfachste mechanische Oszillator ist das Federpendel (Abb. 2). Lenkt man den an eine Feder gebundenen Körper der Masse m ein Stück aus, so gewinnt er gegenüber der Ruhelage aufgrund der elastischen Verformung potentielle Energie. Beim Loslassen bewegt sich der Körper in Richtung Ruhelage zurück, und die potentielle Energie wird in kinetische Energie übergeführt. Wegen der Trägheit bewegt sich der Körper weiter über die Ruhelage hinaus und wird dann von der Feder abgebremst (verlangsamt), bis die gesamte Energie wieder in potentielle Energie übergegangen ist.  Der einfachste mechanische Oszillator ist das Federpendel (Abb. 2). Lenkt man den an eine Feder gebundenen Körper der Masse m ein Stück aus, so gewinnt er gegenüber der Ruhelage aufgrund der elastischen Verformung potentielle Energie. Beim Loslassen bewegt sich der Körper in Richtung Ruhelage zurück, und die potentielle Energie wird in kinetische Energie übergeführt. Wegen der Trägheit bewegt sich der Körper weiter über die Ruhelage hinaus und wird dann von der Feder abgebremst (verlangsamt), bis die gesamte Energie wieder in potentielle Energie übergegangen ist. 
  
-{{:abb2-fgs.jpg|}}+{{ :abb2-fgs.jpg?500 |Abbildung 2: Federpendel und elektrischer Schwingkreis}}
  
 Der einfachste elektrische Oszillator ist ein Schwingkreis, der aus einer Spule und einem Kondensator besteht (Abb. 2 und 3). Ist der Kondensator aufgeladen, so bewirkt dessen Spannung einen Strom. Dieser baut in der Spule ein Magnetfeld auf, wobei die elektrische Feld­energie des Kondensators in magnetische Feldenergie der Spule umgewandelt wird. Der einfachste elektrische Oszillator ist ein Schwingkreis, der aus einer Spule und einem Kondensator besteht (Abb. 2 und 3). Ist der Kondensator aufgeladen, so bewirkt dessen Spannung einen Strom. Dieser baut in der Spule ein Magnetfeld auf, wobei die elektrische Feld­energie des Kondensators in magnetische Feldenergie der Spule umgewandelt wird.
 Nach dem Ladungsausgleich induziert das abnehmende Magnetfeld der Spule eine Spannung, die den Strom aufrechterhält und den Kondensator mit nunmehr umgekehrter Polarität wieder lädt. Bildhaft kann die Energie des Magnetfeldes wegen des zugrundeliegenden Stromes und der Eigenschaft, sich einer Stromänderung zu widersetzen, mit der kinetischen Energie und der Massenträgheit verglichen werden. Es ist jedoch zu beachten, dass dem nicht eine Trägheit der Bewegung der Elektronen zugrunde liegt, sondern die Eigenschaft von sich ändernden Magnetfeldern, der zugehörigen Stromänderung durch Induktion entgegenzuwirken.  Nach dem Ladungsausgleich induziert das abnehmende Magnetfeld der Spule eine Spannung, die den Strom aufrechterhält und den Kondensator mit nunmehr umgekehrter Polarität wieder lädt. Bildhaft kann die Energie des Magnetfeldes wegen des zugrundeliegenden Stromes und der Eigenschaft, sich einer Stromänderung zu widersetzen, mit der kinetischen Energie und der Massenträgheit verglichen werden. Es ist jedoch zu beachten, dass dem nicht eine Trägheit der Bewegung der Elektronen zugrunde liegt, sondern die Eigenschaft von sich ändernden Magnetfeldern, der zugehörigen Stromänderung durch Induktion entgegenzuwirken. 
  
-{{:abb3-fgs.jpg|}}+{{ :abb3-fgs.jpg?500 |Abbildung 3: Ladungsverteilung in einem elektrischen Schwingkreis}}
  
 === Mathematische Behandlung (Differentialgleichung der Schwingung) === === Mathematische Behandlung (Differentialgleichung der Schwingung) ===
Line 157: Line 157:
 (18) Schwingkreis: <m 14> I(t) = I_0 e^{- delta t} cos omega t  </m>\\ (18) Schwingkreis: <m 14> I(t) = I_0 e^{- delta t} cos omega t  </m>\\
  
-{{:abb4-fgs.jpg|}}+{{ :abb4-fgs.jpg?500 |Abbildung 4: Verlauf einer gedämpften Schwingung}}
  
 Für den elektrischen Schwingkreis gilt folgender Zusammenhang zwischen der Dämpfungskonstanten , dem Verlustwiderstand R und der Induktivität L der Spule:  Für den elektrischen Schwingkreis gilt folgender Zusammenhang zwischen der Dämpfungskonstanten , dem Verlustwiderstand R und der Induktivität L der Spule: 
Line 167: Line 167:
 Das Oszilloskop ist ein wichtiges Instrument zur Beobachtung und Messung von zeitabhängigen, schnellen, wiederkehrenden elektrischen Signalen. Der vorliegende Versuch hat als ergänzendes Ziel die Einführung in dieses Gerät. Kernstück eines Oszilloskops ist eine Elektronenstrahlröhre mit einem Elektronenstrahl als praktisch trägheitslosem ''Zeiger''. Zur Auslenkung des Elektronenstrahls wird die zu untersuchende Spannung an die Platten eines Ablenkkondensators innerhalb der Röhre gelegt, wobei die Elektronen durch die Kraft F = Q E im elektrischen Feld des Kondensators abgelenkt werden.  Das Oszilloskop ist ein wichtiges Instrument zur Beobachtung und Messung von zeitabhängigen, schnellen, wiederkehrenden elektrischen Signalen. Der vorliegende Versuch hat als ergänzendes Ziel die Einführung in dieses Gerät. Kernstück eines Oszilloskops ist eine Elektronenstrahlröhre mit einem Elektronenstrahl als praktisch trägheitslosem ''Zeiger''. Zur Auslenkung des Elektronenstrahls wird die zu untersuchende Spannung an die Platten eines Ablenkkondensators innerhalb der Röhre gelegt, wobei die Elektronen durch die Kraft F = Q E im elektrischen Feld des Kondensators abgelenkt werden. 
 Oszilloskope besitzen zwei Ablenksysteme für die X- und für die Y-Richtung (Abb. 5). Zur Untersuchung von Spannung-Zeit-Verläufen wird das Signal über einen Eingangsverstärker an das Y-Ablenksystem gegeben. Zur Erzeugung einer Zeitachse besitzt das Oszilloskop eine Zeitbasis, die periodisch eine mit konstanter Geschwindigkeit anwachsende Spannung erzeugt (Sägezahnspannung). Diese Spannung wird an das X-Ablenksystem gelegt, wodurch der Strahl mit konstanter Geschwindigkeit über den Bildschirm läuft. Geschieht dies hinreichend schnell, so entsteht durch die Trägheit der Leuchtschicht des Bildschirms und des Auges eine durchgehende Linie. Ein Trigger-Netzwerk sorgt dafür, dass die Zeitbasis immer in dem Moment "angestoßen" wird, in dem das Signal am Y-Eingang erscheint und synchronisiert damit Signal und Zeitbasis. Für ein wiederkehrendes Signal erhält man auf diese Weise ein stehendes Bild auf dem Bildschirm des Oszilloskops. Oszilloskope besitzen zwei Ablenksysteme für die X- und für die Y-Richtung (Abb. 5). Zur Untersuchung von Spannung-Zeit-Verläufen wird das Signal über einen Eingangsverstärker an das Y-Ablenksystem gegeben. Zur Erzeugung einer Zeitachse besitzt das Oszilloskop eine Zeitbasis, die periodisch eine mit konstanter Geschwindigkeit anwachsende Spannung erzeugt (Sägezahnspannung). Diese Spannung wird an das X-Ablenksystem gelegt, wodurch der Strahl mit konstanter Geschwindigkeit über den Bildschirm läuft. Geschieht dies hinreichend schnell, so entsteht durch die Trägheit der Leuchtschicht des Bildschirms und des Auges eine durchgehende Linie. Ein Trigger-Netzwerk sorgt dafür, dass die Zeitbasis immer in dem Moment "angestoßen" wird, in dem das Signal am Y-Eingang erscheint und synchronisiert damit Signal und Zeitbasis. Für ein wiederkehrendes Signal erhält man auf diese Weise ein stehendes Bild auf dem Bildschirm des Oszilloskops.
-{{:abb5-fgs.jpg|}}+ 
 +{{ :abb5-fgs.jpg?500 |Abbildung 5: Prinzipschaltbild eines Oszilloskops}}
  
 == Elementare Funktions- und Bedienelemente von Oszilloskopen == == Elementare Funktions- und Bedienelemente von Oszilloskopen ==
Line 203: Line 204:
 Der Kondensator kann über einen Umschalter durch ein Netzgerät aufgeladen (ausgelenkt) werden. Nach Umschalten wird die Folge der Spannungsamplituden mit dem Voltmeter und die Schwingungsdauer (möglichst viele Perioden!) mit der Stoppuhr gemessen. Die Dämpfungskonstante erhält man aus dem Verhältnis aufeinanderfolgender Amplituden (gleicher Richtung). Berechnen Sie dazu das Verhältnis aufeinander folgender Amplituden für die Zeiten t = t' und t = t' + T, und lösen Sie die dafür geltende Exponentialgleichung nach der Dämpfungskonstanten auf. Der Kondensator kann über einen Umschalter durch ein Netzgerät aufgeladen (ausgelenkt) werden. Nach Umschalten wird die Folge der Spannungsamplituden mit dem Voltmeter und die Schwingungsdauer (möglichst viele Perioden!) mit der Stoppuhr gemessen. Die Dämpfungskonstante erhält man aus dem Verhältnis aufeinanderfolgender Amplituden (gleicher Richtung). Berechnen Sie dazu das Verhältnis aufeinander folgender Amplituden für die Zeiten t = t' und t = t' + T, und lösen Sie die dafür geltende Exponentialgleichung nach der Dämpfungskonstanten auf.
  
-{{:abb6-fgs.jpg|}}+{{ :abb6-fgs.jpg?500 |Abbildung 6: Schaltung zu Aufgabe 1}}
  
 === Steckbrett === === Steckbrett ===
Line 217: Line 218:
 Die Auswertung der Dämpfungskonstanten geschieht mit Hilfe einer logarithmischen Darstellung der Amplitudenwerte in Abhängigkeit von der Zeit. Die Auswertung der Dämpfungskonstanten geschieht mit Hilfe einer logarithmischen Darstellung der Amplitudenwerte in Abhängigkeit von der Zeit.
  
-{{:abb7-fgs.jpg|}}+{{ :abb7-fgs.jpg?500 |Abbildung 7: Prinzipschaltbild zu Aufgabe 2}}
  
  
  
freie_gedaempfte_schwingung.1253112574.txt.gz · Last modified: 2009/09/16 16:49 by gorgis