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--- kug_-_versuchsanleitung [2009/03/29 20:21] – hatter
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 Die Schwerkraft (Gewicht) der Kugel beträgt:
 <latex>
 $(4)\quad F_G = m_K g = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho_K g , $
 </latex>
-wenn r der Kugelradius, r<sub>K</sub> die Dichte der Kugel (Stahl) und g die Fallbeschleunigung ist (<m> g\approx 9,81 m/s</m><sup>2</sup>).
+wenn r der Kugelradius, r<sub>K</sub> die Dichte der Kugel (Stahl) und g die Fallbeschleunigung ist (g <m>\approx</m> 9,81 m/s<sup>2</sup>).
 Der Auftrieb F<sub>A</sub> eines Körpers ist gleich der Gewichtskraft der von ihm verdrängten Flüssigkeit oder des Gases (archimedisches Prinzip) und der Fallbeschleunigung entgegengerichtet:
+<latex>
+$(5)\quad F_G = -\frac{4}{3} \pi r^3 \rho_{Fl} g , $
+</latex>
+Auch die Reibungskraft F<sub>R</sub> ist der Geschwindigkeit entgegengerichtet. Die genaue Abhängigkeit von der Viskosität, dem Kugelradius und der Geschwindigkeit lautet (stokessches Gesetz):
+<latex>
+$(6)\quad F_R = -6\pi \eta rv $
+</latex>
+Wird die Geschwindigkeit v gemessen (Fallstrecke s und Fallzeit t), so kann die Viskosität <m>\eta</m> durch Einsetzen von (4, 5 und 6) in (3) berechnet werden.
+Die Bestimmung unbekannter Radien r<sub>x</sub> läuft auf Vergleichsmessungen zwischen Kugeln mit dem Radius r<sub>x</sub> und einer Kugel mit bekanntem Radius r<sub>0</sub> hinaus. Die Auswertegleichung reduziert sich auf das Verhältnis der Fallzeiten t<sub>0</sub>/t<sub>x</sub> unter der Voraussetzung gleicher Fallstrecke s und gleicher Viskosität <m>\eta</m>, d.h. gleicher Temperatur. Man erhält sie durch Gleichsetzen der Beziehungen für <m>\eta</m> für unterschiedliche Radien, wobei sich aus der Formel bis auf die Radien und die Fallzeiten sämtliche anderen Größen herauskürzen.
+===== Versuchsdurchführung =====
+Es sind mit Rizinusöl gefüllte Standzylinder und Kugeln verschiedener Radien vorhanden. Der Zylinder trägt Ringmarken, deren Abstand mit einem Metallmaßstab gemessen werden kann. Die Bestimmung der Fallzeiten erfolgt mit Handstoppuhren. Die Kugeln sind vor jeder Messung __gut zu reinigen__, da an den Kugeln anhaftendes, altes Öl verharzt sein und damit den scheinbaren Radius der Kugeln vergrößern kann. Die Kugeln können mit einem Magneten wieder aus dem Zylinder entfernt werden.
+Die Viskosität des Öles ist sehr stark temperaturabhängig. Schon die Änderung der Temperatur um 1 K führt zu einer deutlichen Viskositätsänderung. Die Einstellung und Konstanthaltung unterschiedlicher Temperaturen zur Messung der Temperaturabhängigkeit wäre wegen der thermischen Trägheit der Apparatur (Standzylinder mit Öl) sehr langwierig. Aus Vereinfachungsgründen werden deshalb die Standzylinder vor Versuchsbeginn abgekühlt (Kühlschrank), so dass man durch die Aufwärmung während der Versuchsdurchführung unterschiedliche Temperaturen erhält.
+In Strenge ist dies inkorrekt, da die Temperatur als Zustandsgröße ein thermisches Gleichgewicht voraussetzt. Tatsächlich ergeben sich aber in dem Standzylinder während der Aufwärmung nicht nur räumliche Temperaturdifferenzen (Temperaturgradienten) sondern auch Konvektion innerhalb des Öles. Die Temperaturabhängigkeit der Viskosität kann dennoch qualitativ richtig beobachtet werden, wenn die Messungen unter gleichbleibenden Umständen durchgeführt werden (gleicher ''Fallkanal'' in der Mitte des Zylinders, gleiche Messstrecke, Thermometer an der gleichen Stelle belassen), so dass diese systematischen Fehler bei allen Messwerten in etwa gleich sind. Insbesondere __darf nicht versucht werden, das Öl durch Rühren mit dem Thermometer zu "homogenisieren"__, da dies wegen der Zähigkeit des Öles und der Höhe des Standzylinders nicht gelingt und nur zu unsystematischen Verhältnissen führt.
+Zur Versuchsdurchführung werden die Fallzeiten der verschiedenen Kugeln in Abhängigkeit von der Temperatur gemessen. Die Messungen müssen __über einen Zeitraum von mindestens einer Stunde__ durchgeführt werden, um eine genügend große Temperaturänderung und ausreichend viele Messpunkte zu erhalten. Man geht zweckmäßigerweise so vor, dass man nacheinan-der und wiederholend in gleichbleibender Reihenfolge die Fallzeiten für die verschiedenen Kugeln und die zugehörigen Temperaturen aufnimmt.
+=== Zu Aufgabe 1 (Viskosität) ===
+Zur Auswertung werden die Fallzeiten t über 1/T (Temperaturen in Kelvin umrechnen!) einfachlogarithmisch dargestellt und die Messpunkte gemäß (2) durch (parallele) Geraden ausgeglichen. Das Diagramm ist so anzulegen, dass die Fallzeit bei 20 °C zur Berechnung des Vergleichswerts der Viskosität extrapoliert werden kann (siehe Abb. 1).
+Bild einfügen
+{{:KUG1.png|}}
+Abb.1:Grafische Auswertung. Eintrag paralleler Ausgleichsgeraden (warum?) und Festlegung der extrapolierten Fallzeit zur Berechnung der Viskosität bei 20 °C und der unbekannten Kugelradien.
+Die Messpunkte am "rechten Rand" können dabei systematisch vom linearen Verlauf abweichen und sollen bei der Festlegung der Ausgleichsgeraden nicht mit berücksichtigt werden. Versuchen Sie den Effekt zu erklären.
+=== Zu Aufgabe 2 (Kugelradien) ===
+Zur Berechnung der unbekannten Radien nach der Vergleichsmethode werden Fallzeiten gleicher Temperatur benötigt, für die keine direkten Messwerte vorliegen, die aber dem Schaubild als extrapolierte Ausgleichswerte (zum Beispiel an der Achse) entnommen werden können.
+=== Literaturwerte ===
+Technische Sollwerte der Kugeldurchmesser;
+Toleranz ± 0,01 mm:
+<latex> $d_0 = 2 mm (zweitgrößte Kugel)$ </latex>
+<latex> $d_1 = 1/16 " (Zoll),$ </latex>
+<latex> $d_2 = 1 mm,$ </latex>
+<latex> $d_3 = 2,5 mm.$ </latex>
+Viskosität von Rizinusöl (KOHLRAUSCH; Praktische Physik; B.G.Teubner,  Stuttgart):
+<latex> $h = 0,99 Pa s$ </latex>
+ohne Fehlerangabe. Als Naturprodukt ist für den Wert eine größere Schwankung anzunehmen. Die Dichten von Stahl und Rizinusöl sind im Platzskript angegeben.