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| v11_d_unne_linsen [2009/03/27 08:28] – knigge | v11_d_unne_linsen [2009/03/27 08:45] – knigge |
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| ===== V11 Dünne Linsen ===== | ===== V11 Dünne Linsen ===== |
| <m>varepsilon_0</m> | |
| <latex>c_{1}</latex> | |
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| === 11.2.1 Brechungsgesetz === | === 11.2.1 Brechungsgesetz === |
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| Fällt ein Lichtstrahl (oder ein Strahlenbündel) aus einem homogenen Medium 1, in dem die Lichtausbreitungsgeschwindigkeit <latex> \c_{1} \; </latex> ist, schräg auf die Trennfläche zu einem anderen homogenen Medium 2 (Lichtausbreitungsgeschwindigkeit <latex> \c_{2} </latex>), so wird der Lichtstrahl an der Trennfläche zwischen beiden Medien gebrochen, d.h. die in Abbildung 11.2 angegebenen, jeweils zum Einfallslot gemessenen Winkel und sind verschieden. | Fällt ein Lichtstrahl (oder ein Strahlenbündel) aus einem homogenen Medium 1, in dem die Lichtausbreitungsgeschwindigkeit <latex> c_{1} </latex> ist, schräg auf die Trennfläche zu einem anderen homogenen Medium 2 (Lichtausbreitungsgeschwindigkeit <latex> c_{2} </latex>), so wird der Lichtstrahl an der Trennfläche zwischen beiden Medien gebrochen, d.h. die in Abbildung 11.2 angegebenen, jeweils zum Einfallslot gemessenen Winkel und sind verschieden. |
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| - - > Abbildung einfügen | - - > Abbildung einfügen |
| zweier homogener Medien. | zweier homogener Medien. |
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| Das Gesetz über dieses Brechungsverhalten - ausgedrückt durch die Lichtgeschwindigkeiten <latex> \c_{1} \; </latex> im Medium 1 und <latex> \c_{2} <\latex> im Medium 2 - wurde etwa 1650 von Fermat gefunden und von ihm aus dem ”Prinzip des kürzesten Lichtwegs“ geschlossen. Dieses Prinzip besagt, dass von allen möglichen Wegen, die das Licht zwischen zwei Punkten nehmen könnte, es denjenigen nimmt, der die kürzeste Laufzeit erfordert. Quantitativ lässt sich dieses Prinzip durch das Brechungsgesetz ausdrücken: | Das Gesetz über dieses Brechungsverhalten - ausgedrückt durch die Lichtgeschwindigkeiten <latex> c_{1} </latex> im Medium 1 und <latex> c_{2} </latex> im Medium 2 - wurde etwa 1650 von Fermat gefunden und von ihm aus dem ”Prinzip des kürzesten Lichtwegs“ geschlossen. Dieses Prinzip besagt, dass von allen möglichen Wegen, die das Licht zwischen zwei Punkten nehmen könnte, es denjenigen nimmt, der die kürzeste Laufzeit erfordert. Quantitativ lässt sich dieses Prinzip durch das Brechungsgesetz ausdrücken: |
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| <latex> | <latex> |
| \frac{\sin{\alpha} }{\sin{\beta}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{n_{2}}{n_{1}} \\ \; | \frac{\sin{\alpha} }{\sin{\beta}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{n_{2}}{n_{1}} \\ \; |
| <\latex> | </latex> |
| (11.1) | (11.1) |
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| Mit <latex> \c_{0} \; <\latex> als Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts im Vakuum definiert man als Brechungsindex <latex> \n_{1} <\latex> des Mediums 1 die Größe | Mit <m> c_{0} </m> als Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts im Vakuum definiert man als Brechungsindex <m> n_{1} </m> des Mediums 1 die Größe |
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| <latex> | <latex> |
| \ n_{1} = \frac{c_{}0}{c_{1}} \\ \; | \ n_{1} = \frac{c_{}0}{c_{1}} \\ \; |
| <\latex> | </latex> |
| (11.2) | (11.2) |
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| Als Beispiel sind einige Brechungsindizes (per Definition <latex> \n_{0} = 1 \;<\latex> ) in der Tabelle 11.1 zusammengefasst. | Als Beispiel sind einige Brechungsindizes (per Definition <latex> n_{0} = 1 </latex> ) in der Tabelle 11.1 zusammengefasst. |
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| ^Material ^Brechungsindex n ^ | ^Material ^Brechungsindex n ^ |
| |Diamant (20°C)| 2.417| | |Diamant (20°C)| 2.417| |
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| Tabelle 11.1: Brechzahlen n bei <m> \lambda <\m> = 589.3 nm (gelbe Natriumlinie). | Tabelle 11.1: Brechzahlen n bei <latex> \lambda </latex> = 589.3 nm (gelbe Natriumlinie). |
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| === 11.2.2 Linsen === | === 11.2.2 Linsen === |
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| Die Wirkung von Linsen beruht auf der Brechung des Lichts an ihren Grenzflächen. Optische Linsen sind lichtdurchlässige, von zwei gewölbten Flächen begrenzte Körper. Sie bestehen im Allgemeinen aus Glas oder Kunststoff und sind meist durch Kugelflächenausschnitte begrenzt (siehe Abbildung 11.3). Die optische Achse verbindet die Mittelpunkte der beiden Kugeln und schneidet die Linsenflächen in den Punkten <latex> \S_{1 } \;<l\atex> und <latex> \S_{2} \; <\latex>. Die Strecke <latex> \overline{S_{1}S_{2}} \; <\latex> heißt Dicke der Linse. | Die Wirkung von Linsen beruht auf der Brechung des Lichts an ihren Grenzflächen. Optische Linsen sind lichtdurchlässige, von zwei gewölbten Flächen begrenzte Körper. Sie bestehen im Allgemeinen aus Glas oder Kunststoff und sind meist durch Kugelflächenausschnitte begrenzt (siehe Abbildung 11.3). Die optische Achse verbindet die Mittelpunkte der beiden Kugeln und schneidet die Linsenflächen in den Punkten <latex> S_{1}</latex> und <latex> S_{2} </latex>. Die Strecke <latex> \overline{S_{1}S_{2}} </latex> heißt Dicke der Linse. |
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| - - > Abbildung einfügen | - - > Abbildung einfügen |
| Abbildung 11.3: Konstruktion einer Konvexlinse. | Abbildung 11.3: Konstruktion einer Konvexlinse. |
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| Von dünnen Linsen spricht man, wenn ihre Dicke <latex> \overline{S_{1}S_{2}} \; <\latex> klein gegenüber den Kugelradien ist. Man unterscheidet Konvexlinsen (bei ihnen ist die Mitte dicker als der Rand) und Konkavlinsen (bei ihnen ist die Mitte dünner als der Rand). | Von dünnen Linsen spricht man, wenn ihre Dicke <latex> \overline{S_{1}S_{2}} </latex> klein gegenüber den Kugelradien ist. Man unterscheidet Konvexlinsen (bei ihnen ist die Mitte dicker als der Rand) und Konkavlinsen (bei ihnen ist die Mitte dünner als der Rand). |
| Konvexlinsen (auch Sammellinsen genannt) fokussieren ein achsenparallel einfallendes | Konvexlinsen (auch Sammellinsen genannt) fokussieren ein achsenparallel einfallendes |
| Lichtbündel in den auf der anderen Seite der Linse liegenden Brennpunkt <latex> \F_{2} \; <\latex> auf der optischen Achse (siehe Abbildung 11.4). Die Entfernung von der Linsenmitte zum Brennpunkt heißt Brennweite f (entspricht <latex> \overline{SF_{2}} \; <\latex> in Abbildung 11.3). In gleicher Entfernung gibt es auf der anderen Seite einen Brennpunkt <latex> \F_{1} \; <\latex>. | Lichtbündel in den auf der anderen Seite der Linse liegenden Brennpunkt <latex> F_{2} </latex> auf der optischen Achse (siehe Abbildung 11.4). Die Entfernung von der Linsenmitte zum Brennpunkt heißt Brennweite f (entspricht <latex> \overline{SF_{2}} </latex> in Abbildung 11.3). In gleicher Entfernung gibt es auf der anderen Seite einen Brennpunkt <latex> F_{1} </latex>. |
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| - - > Abbildung einfügen | - - > Abbildung einfügen |
| Abbildung 11.4: Strahlengang eines achsenparallelen Strahlenbündels durch eine Konvexlinse (oben) und eine Konkavlinse (unten). | Abbildung 11.4: Strahlengang eines achsenparallelen Strahlenbündels durch eine Konvexlinse (oben) und eine Konkavlinse (unten). |
| Durch Konkavlinsen werden achsenparallel einfallende Strahlen zerstreut. Daher nennt | Durch Konkavlinsen werden achsenparallel einfallende Strahlen zerstreut. Daher nennt |
| man diese Linsen auch Zerstreuungslinsen. Die gebrochenen Strahlen scheinen von einem Punkt <latex> \F_{1} \; <\latex> her zukommen, der auf derselben Seite der Linse wie die ankommenden Lichtstrahlen liegt. Der Punkt <latex> \F_{1} \; <\latex> und der zu ihm symmetrisch liegende Punkt <latex> \F_{2} \; <\latex> heißen auch hier (”scheinbare“) Brennpunkte. Man ordnet Zerstreuungslinsen negative Brennweiten zu. | man diese Linsen auch Zerstreuungslinsen. Die gebrochenen Strahlen scheinen von einem Punkt <latex> F_{1} </latex> her zukommen, der auf derselben Seite der Linse wie die ankommenden Lichtstrahlen liegt. Der Punkt <latex> F_{1} </latex> und der zu ihm symmetrisch liegende Punkt <latex> F_{2} </latex> heißen auch hier (”scheinbare“) Brennpunkte. Man ordnet Zerstreuungslinsen negative Brennweiten zu. |
| Beim Ausgleich der in der Einleitung erwähnten Augenfehler spielen die Eigenschaften | Beim Ausgleich der in der Einleitung erwähnten Augenfehler spielen die Eigenschaften |
| von Konvex- und Konkavlinsen eine entscheidende Rolle. Können Sie sich denken, | von Konvex- und Konkavlinsen eine entscheidende Rolle. Können Sie sich denken, |
| Abbildung 11.5: Bildkonstruktion an einer dünnen Sammellinse. | Abbildung 11.5: Bildkonstruktion an einer dünnen Sammellinse. |
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| Zur Konstruktion wählt man Strahlen, deren Brechung nach Definition der Sammellinse bekannt ist. Ein achsenparalleler Strahl durch A trifft die Linsenebene beim Punkt A' und geht nach der Brechung durch <latex> \F_{2} \; <\latex>. Ein Strahl von A durch <latex> \F_{1} \; <\latex> (Brennstrahl) trifft die Linsenebene bei B' und wird zu einem ausgehenden achsenparallelen Strahl gebrochen. Beide Strahlen schneiden sich im Bildpunkt B. Ein Mittelpunktstrahl verläuft ungebrochen von A nach B. Aus der Abbildung 11.5 erhält man (durch Vergleich ähnlicher Dreiecke) die Abbildungsgleichung | Zur Konstruktion wählt man Strahlen, deren Brechung nach Definition der Sammellinse bekannt ist. Ein achsenparalleler Strahl durch A trifft die Linsenebene beim Punkt A' und geht nach der Brechung durch <latex> F_{2} </latex>. Ein Strahl von A durch <latex> F_{1} </latex> (Brennstrahl) trifft die Linsenebene bei B' und wird zu einem ausgehenden achsenparallelen Strahl gebrochen. Beide Strahlen schneiden sich im Bildpunkt B. Ein Mittelpunktstrahl verläuft ungebrochen von A nach B. Aus der Abbildung 11.5 erhält man (durch Vergleich ähnlicher Dreiecke) die Abbildungsgleichung |
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| <latex> | <latex> |
| \frac{1}{f} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \\ \; | \frac{1}{f} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \\ \; |
| <\latex>. | </latex>. |
| (11.3) | (11.3) |
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| Für das Verhältnis Bildgröße (entspricht <latex> \overline{B'S} \; <\latex>) zu Gegenstandsgröße (entspricht <latex> \overline{A'S} \; <\latex>), d.h. für die lineare Vergrößerung, gilt: | Für das Verhältnis Bildgröße (entspricht <latex> \overline{B'S} </latex>) zu Gegenstandsgröße (entspricht <latex> \overline{A'S} </latex>), d.h. für die lineare Vergrößerung, gilt: |
| <latex> | <latex> |
| \frac{Bildgröße}{Gegenstandsgröße} = \frac{\overline{B'S}}{\overline{A'S}} = \frac{Bildweite b}{Gegenstandsweite a} \\ \; | \frac{Bildgröße}{Gegenstandsgröße} = \frac{\overline{B'S}}{\overline{A'S}} = \frac{Bildweite b}{Gegenstandsweite a} \\ \; |
| <\latex> | </latex> |
| . (11.4) | . (11.4) |
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| wenn man die negative Brennweite berücksichtigt. | wenn man die negative Brennweite berücksichtigt. |
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| Bei dünnen Linsen, d.h. für <latex> \overline{S_{1}S_{2}} \ll r_{1},r_{2} \; <\latex> (siehe Abbildung 11.3) gilt für die Brechkraft | Bei dünnen Linsen, d.h. für <latex> \overline{S_{1}S_{2}} \ll r_{1},r_{2} </latex> (siehe Abbildung 11.3) gilt für die Brechkraft |
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| <latex> | <latex> |
| \\frac{1}{f} = (n-1) ( \frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}})\\ \; | \\frac{1}{f} = (n-1) ( \frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}})\\ \; |
| <\latex> | </latex> |
| . (11.5) | . (11.5) |
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| Für <latex> \r_{1}=r_{2} = r \; <\latex> ist dann die Brennweite proportional zum Krümmungsradius r derLinse: <latex> \f=\frac{r}{2(n-1)} \; <\latex>. | Für <latex> r_{1}=r_{2} = r </latex> ist dann die Brennweite proportional zum Krümmungsradius r derLinse: <latex> f=\frac{r}{2(n-1)} </latex>. |
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| ===== 11.3 Aufgabenstellung ===== | ===== 11.3 Aufgabenstellung ===== |
| Versuchen Sie mit einer Sammellinse (Abkürzung: SL) die folgenden | Versuchen Sie mit einer Sammellinse (Abkürzung: SL) die folgenden |
| Abbildungsmöglichkeiten zu realisieren: | Abbildungsmöglichkeiten zu realisieren: |
| • Linse als Lupe | |
| • Linse als fotografische Linse | * Linse als Lupe |
| • Linse als Projektionslinse | * Linse als fotografische Linse |
| | * Linse als Projektionslinse |
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| == 2. == | == 2. == |
| Bestimmen Sie experimentell die Brennweite <latex> \f_{SL} \; <\latex> einer Sammellinse und <latex> \f_{ZL} \; <\latex> einer Zerstreuungslinse (Abkürzung: ZL). Berechnen Sie für beide Linsen die Brechkraft (<latex> \D_{SL} \; <\latex> und <latex> \D_{ZL} \; <\latex>). | Bestimmen Sie experimentell die Brennweite <latex> f_{SL} </latex> einer Sammellinse und <latex> f_{ZL} </latex> einer Zerstreuungslinse (Abkürzung: ZL). Berechnen Sie für beide Linsen die Brechkraft (<latex> D_{SL} </latex> und <latex> D_{ZL} </latex>). |
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| == 3. == | == 3. == |
| Berechnen Sie für die Sammellinse unter Benutzung des im Aufgabenteil 2 erhaltenen | Berechnen Sie für die Sammellinse unter Benutzung des im Aufgabenteil 2 erhaltenen |
| Werts für die Brennweite <latex> \f_{SL} \; <\latex> diejenige Gegenstandsweite a, bei der ein Bild entsteht, das viermal so groß ist wie der Gegenstand, und diejenige Gegenstandsweite a, bei der das Bild halb so groß ist wie der Gegenstand. Überprüfen | Werts für die Brennweite <latex> f_{SL} </latex> diejenige Gegenstandsweite a, bei der ein Bild entsteht, das viermal so groß ist wie der Gegenstand, und diejenige Gegenstandsweite a, bei der das Bild halb so groß ist wie der Gegenstand. Überprüfen |
| Sie beide Ergebnisse experimentell. | Sie beide Ergebnisse experimentell. |
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| Den reziproken Wert der Brennweite f bezeichnet man als Brechkraft D: | Den reziproken Wert der Brennweite f bezeichnet man als Brechkraft D: |
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| <latex> \D = \frac{1}{f} \; <\latex> | <latex> D = \frac{1}{f} </latex> |
| . (11.6) | . (11.6) |
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| Die Einheit der Brechkraft ist die Dioptrie (dpt): [D] = 1 dpt = 1 <latex> \m{-1} \; <\latex> | Die Einheit der Brechkraft ist die Dioptrie (dpt): [D] = 1 dpt = 1 <latex> m{-1} </latex> |
| . Eine Sammellinse der Brennweite 50 cm hat also die Brechkraft D = 2 dpt. Die Linse im | . Eine Sammellinse der Brennweite 50 cm hat also die Brechkraft D = 2 dpt. Die Linse im |
| menschlichen Auge besitzt eine Brechkraft von 15 dpt. | menschlichen Auge besitzt eine Brechkraft von 15 dpt. |
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| Stellt man zwei dünne Linsen hintereinander auf, so bekommt man ein Linsensystem mit der Brechkraft | Stellt man zwei dünne Linsen hintereinander auf, so bekommt man ein Linsensystem mit der Brechkraft |
| <latex> \D_{GES} = D_{1} + D_{2} \\ \; <\latex> | <latex> D_{GES} = D_{1} + D_{2} \\ \; </latex> |
| . (11.7) | . (11.7) |
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| Dabei sind <latex> \D_{1}\; <\latex> und <latex> \D_{2} \; <\latex> die Brechkräfte der einzelnen Linsen. | Dabei sind <latex> D_{1} </latex> und <latex> D_{2} </latex> die Brechkräfte der einzelnen Linsen. |
| Die Brechkraft einer Konkavlinse ist negativ. Man kann mit ihr keine reellen Abbildungen | Die Brechkraft einer Konkavlinse ist negativ. Man kann mit ihr keine reellen Abbildungen |
| eines Gegenstands herstellen. Daher misst man deren Brennweite durch | eines Gegenstands herstellen. Daher misst man deren Brennweite durch |
| Kombination mit einer Konvexlinse bekannter Brechkraft <latex> \D_{SL}\; <\latex>. Die Brechkraft des Linsensystems bestehend aus einer Konvex- und einer Konkavlinse ist dann nach (11.7) | Kombination mit einer Konvexlinse bekannter Brechkraft <latex> D_{SL} </latex>. Die Brechkraft des Linsensystems bestehend aus einer Konvex- und einer Konkavlinse ist dann nach (11.7) |
| <latex> \D_{GES} = D_{SL} + D_{ZL} \\ \; <\latex> . (11.8) | <latex> D_{GES} = D_{SL} + D_{ZL} \\ \; </latex> . (11.8) |
| Die Sammellinse muss eine dem Betrag nach größere Brechkraft als die Zerstreuungslinse haben (<latex> \|D_{SL}| > |D_{ZL}| \; <\latex>), damit die Hintereinanderanordnung beider Linsen ein System mit positiver Brechkraft, d.h. mit Sammelwirkung ergibt. Davon misst man die Brechkraft <latex> \D_{GES} \; <\latex> nach der oben beschriebenen Methode und berechnet dann nach Gleichung (11.8) die Brechkraft <latex> \D_{ZL}\; <\latex> der Konkavlinse: <latex> \D_{ZL} = D_{GES} - D_{SL} \; <\latex>. | Die Sammellinse muss eine dem Betrag nach größere Brechkraft als die Zerstreuungslinse haben (<latex> |D_{SL}| > |D_{ZL}| </latex>), damit die Hintereinanderanordnung beider Linsen ein System mit positiver Brechkraft, d.h. mit Sammelwirkung ergibt. Davon misst man die Brechkraft <latex> D_{GES} </latex> nach der oben beschriebenen Methode und berechnet dann nach Gleichung (11.8) die Brechkraft <latex> D_{ZL} </latex> der Konkavlinse: <latex> D_{ZL} = D_{GES} - D_{SL} </latex>. |
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| === Erläuterungen zum Aufgabenteil 3 === | === Erläuterungen zum Aufgabenteil 3 === |
| (siehe Abschnitt 11.2.3) lässt sich folgende Beziehung herleiten (siehe (11.4)): | (siehe Abschnitt 11.2.3) lässt sich folgende Beziehung herleiten (siehe (11.4)): |
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| <latex> \frac{Bildgröße}{Gegenstandsgröße} = \frac{b}{a} \\ \; <\latex> | <latex> \frac{Bildgröße}{Gegenstandsgröße} = \frac{b}{a} \\ \; </latex> |
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| . (11.9) | . (11.9) |
