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--- v5_thermische_isolierung [2009/03/23 11:26] – created laehnemann
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-<texit info>
+==== Einführung =====
-author=laehnemann
-title=FGS
-</texit>
-===== V5 : THERMISCHE ISOLIERUNG =====
-^V5 | THERMISCHE ISOLIERUNG |
+Warum tragen wir im Sommer und im Winter Kleidung aus unterschiedlichen
+Materialien und unterschiedlicher Dicke?
+Warum hat die Kleidung der Astronauten als oberste Schicht eine dünne Aluminiumhaut?
+Die diesen Fragen zugrunde liegenden Mechanismen des Wärmetauschs
+zwischen einem System und seiner Umgebung sollen an einem einfachen
+Beispiel untersucht werden.
+Von einem Körper wird Wärmeenergie auf drei Arten an die
+(kältere) Umgebung abgegeben:
+  * durch Konvektion (Wärmetransport, der mit Materietransport verbunden ist);
+  * durch Wärmeleitung (in Materie, jedoch ohne Materietransport);
+  * durch Wärmestrahlung (elektromagnetische Strahlung).
+Geben Sie Beispiele für diese verschiedenen Transportmechanismen an.
+Bei den vier im Versuch verwendeten und mit Wasser gefüllten
+Gefäßen werden von Gefäß
+zu Gefäß die Möglichkeiten des Wärmeaustauschs
+ausgeschaltet (siehe Tabelle 1).
+Tabelle 1: Arten des Wärmeaustauschs in unterschiedlichen Glasgefäßen: Gefäß 1 = einfaches Glasgefäß; Gefäß 2 = doppelwandiges Glasgefäß; Gefäß 3 = doppelwandiges Glasgefäß (evakuiert); Gefäß 4 = Dewargefäß (doppelwandig, evakuiert und verspiegelt).
+^ ^ Wärmeaustausch durch ^^^
+^ ^ Konvektion ^ Wärmeleitung ^ Wärmestrahlung ^
+| Gefäß 1 | ja | ja | ja |
+| Gefäß 2 | nein | ja | ja |
+| Gefäß 3 | nein | nein | ja |
+| Gefäß 4 | nein | nein | nein |
+Bei allen Gefäßen wird zusätzlich Wärme über die
+Wasseroberfläche abgegeben.
+Die Gefäße sollten daher die gleiche Querschnittsfläche
+haben, damit dieser Störeffekt in allen Fällen gleich
+groß ist((Im Versuch hat Gefäß 1 eine etwas
+kleinere Querschnittsfläche als die anderen Gefäße.
+Der dadurch hervorgerufene Fehler kann aber bei der Auswertung
+vernachlässigt werden.)).
+Das Ziel des Versuchs ist es, aus den verschiedenen Geschwindigkeiten,
+mit denen sich das Wasser in den Gefäßen abkühlt,
+abzuschätzen, wie viel die einzelnen Mechanismen (Konvektion,
+Wärmeleitung und Wärmestrahlung) zum Temperaturausgleich
+beitragen.
+==== Grundlagen =====
+Da die Abkühlungsgeschwindigkeit eines Körpers nur von
+der Temperaturdifferenz zu seiner Umgebung abhängt, ist es
+zweckmäßig, mit der zeitabhängigen Differenz zwischen
+Wassertemperatur <m>T(t)</m> und Umgebungstemperatur <m>T_U</m>,
+der so genannten Übertemperatur <m>\theta(t) = T(t) - T_{U}</m>,
+zu rechnen.
+Ein Körper kühlt umso schneller ab, je größer die Temperaturdifferenz zur Umgebung ist:
+<m 14>- {d\theta}/{dt} sim \theta .~~~</m> (1)
+Diese Proportionalität  lässt sich mematisch durch die
+Gleichung
+<m 14>
+{d\theta}/{dt} = - a \theta ~~~</m> (2)
+beschreiben.
+Das Minuszeichen besagt bei positiv eingeführter Konstante <m>a</m>,
+dass es sich mit fortschreitender Zeit um eine Abnahme der Temperatur
+handelt (<m>dt > 0</m> und <m>d\theta < 0</m>).
+Eine Funktion, die die Gleichung (2) erfüllt, ist die
+Exponentialfunktion
+<m 14>
+\theta(t) = \theta(0) e^{-a t} ,~~~</m> (3)
+mit <m>\theta(0) = \theta(t=0)</m>.
+Trägt man für die vier Gefäße die gemessenen
+Übertemperaturen als Funktion der Zeit <m>t</m> auf, sollten sich
+fallende Exponentialfunktionen ergeben, die umso flacher verlaufen,
+je besser die Isolierung des jeweiligen Gefäßes ist
+(siehe Abbildung 1A).
+Ein Maß für die Wirksamkeit der Isolierung ist die Konstante <m>a</m> in
+der Exponentialfunktion in (3); sie gibt an, wie schnell die
+Temperatur mit der Zeit abfällt.
+Die Konstante <m>a</m> heißt Abkühlrate;
+ihre Einheit ist <m>{[}a{]} = min^{-1}</m>.
+{{:v5_1.png|Abbildung 1:}}\\
+//Abbildung 1: (A) Graphische Darstellung der Exponentialfunktion// <m>\theta_{i}(t) = \theta(0) e^{-a_{i} t}</m>
+//für vier verschiedene Werte// <m>a_{1} > a_{2} > a_{3} > a_{4}</m>//. (B)
+Auftragung der Funktionen// <m>\ln{{(\theta_{i}(t)}/{\theta(0))}</m>// gegen die Zeit//
+<m>t</m>.
+Da man aus der graphischen Darstellung der Exponentialfunktion die
+Konstante <m>a</m> schlecht ablesen kann, bedient man sich einer
+mematischen Umformung, durch die sich der Abkühlprozess linear
+(d.h. als Gerade) darstellen lässt (siehe Abbildung 1B).
+Aus (3) folgt durch Umformung und anschließender
+Logarithmierung:
+<m 14>
+{\theta(t)}/{\theta(0)} = e^{-a t}~~~</m> (4)
+<m 14> \ln({\theta(t)}/{\theta(0)}) = - a t .~~~</m> (5)
+Als Steigung der Geraden erhält man die negativen Abkühlraten
+<m>-a_{1}, \cdots, -a_{4}</m> der vier verschiedenen Gefäße
+(die Steigungsdreiecke zur Bestimmung der Geradensteigung sollten
+möglichst groß sein, damit die Fehler von <m>a_{1}, \cdots a_{4}</m>
+klein bleiben, vgl. Übung Ü2).
+Die Wärmeenergie <m>Q</m>, die ein Körper der Masse <m>m</m> und der
+spezifischen Wärmekapazität <m>c</m> abgibt, wenn er sich um eine
+Temperaturdifferenz <m>\theta</m> abkühlt, ist
+<m 14>
+Q = c m \theta .~~~</m> (6)
+Da sich in diesem Versuch die Übertemperatur <m>\theta(t)</m> mit der
+Zeit ändert (kleiner wird), ändert sich auch die abgegebene
+Wärmeenergie <m>Q(t)</m>.
+Die Änderung <m>dQ/dt</m> bezeichnet man als
+Wärmestrom oder Wärmestromstärke.
+Es gilt also
+<m 14>
+{dQ}/{dt} = c m {d\theta}/{dt} .~~~</m> (7)
+Mit (2) folgt
+<m 14>
+{dQ}/{dt} = - a c m \theta .~~~</m> (8)
+Im Experiment füllt man in alle Gefäße die gleiche
+Wassermenge.
+Dann kann man für eine bestimmte Übertemperatur
+(diese muss für alle vier Gefäße gleich sein)
+die Wärmeströme anhand der Abkühlraten <m>a_{1}, \cdots, a_{4}</m>
+vergleichen.
+Gefäß 1 und 2 unterscheiden sich z.B. gerade dadurch, dass bei
+Gefäß 2 die Konvektion ausgeschaltet ist.
+Die Differenz der Wärmeströme
+<m 14>
+{dQ_{1}}/{dt} - {dQ_{2}}/{dt} =
+{dQ_{K}}/{dt} \sim (a_{1} - a_{2})~~~</m> (9)
+ergibt den durch Konvektion verursachten Wärmestrom
+<m>dQ_{K}/dt</m>, der der Differenz der
+Abkühlraten proportional ist.
+Entsprechend kann man die anderen Wärmeströme
+<m>dQ_{L}/dt</m> (Wärmeleitung)
+und <m>dQ_{S}/dt</m> (Wärmestrahlung) ermitteln.
+==== Aufgabenstellung ====
+Füllen Sie die vier Gefäße mit jeweils gleicher
+Wassermenge der Temperatur von etwa <m>70^{\circ}C</m> und warten
+Sie bis die Thermometer in den Gefäßen nicht mehr weiter
+steigen.
+Messen Sie die Raumtemperatur <m>T_{U}</m> und kontrollieren Sie
+in regelmäßigen Abständen, ob sie konstant bleibt.
+Messen Sie zehn Mal in Abständen von fünf Minuten die
+Wassertemperaturen in allen vier Gefäßen.
+**Auswertung**
+  - Stellen Sie <m>\ln({\theta(t)}/{\theta(0)})</m> als Funktion der
+Zeit <m>t</m> graphisch dar, und bestimmen Sie daraus die Abkühlraten
+<m>a_{1}</m> bis <m>a_{4}</m>.
+  - Berechnen Sie die Wärmeströme der vier Gefäße
+für eine Wassermenge der Masse <m>m = 500</m> g (spezifische
+Wärmekapazität von Wasser: <m>c = 4.2</m> Ws/(gK)) und für
+eine Übertemperatur von <m>50~^{\circ}</m>C.
+  - Vergleichen Sie anhand dieser Wärmeströme die
+Effektivität der verschiedenen Isoliermaßnahmen.