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 <texit info>
 author=laehnemann
-title=FGS
+title=V5
 </texit>
-===== V5 : THERMISCHE ISOLIERUNG =====
+===== V5 - Versuchsanleitung =====
 ^V5 | THERMISCHE ISOLIERUNG |
+==== Einführung =====
+Warum tragen wir im Sommer und im Winter Kleidung aus unterschiedlichen Materialien und unterschiedlicher Dicke?
+Warum hat die Kleidung der Astronauten als oberste Schicht eine dünne Aluminiumhaut?
+Die diesen Fragen zugrunde liegenden Mechanismen des Wärmeaustauschs zwischen einem System und seiner Umgebung sollen an einem einfachen Beispiel untersucht werden.
+Von einem Körper wird Wärmeenergie auf drei Arten an die (kältere) Umgebung abgegeben:
+  * durch Konvektion (Wärmetransport, der mit Materietransport verbunden ist);
+  * durch Wärmeleitung (in Materie, jedoch ohne Materietransport);
+  * durch Wärmestrahlung (elektromagnetische Strahlung).
+Geben Sie Beispiele für diese verschiedenen Transportmechanismen an.
+Bei den vier im Versuch verwendeten und mit Wasser gefüllten Gefäßen werden von Gefäß zu Gefäß die Möglichkeiten des Wärmeaustauschs ausgeschaltet (siehe Tabelle 1).
+//Tabelle 1: Arten des Wärmeaustauschs in unterschiedlichen Glasgefäßen: Gefäß 1 = einfaches Glasgefäß; Gefäß 2 = doppelwandiges Glasgefäß; Gefäß 3 = doppelwandiges Glasgefäß (evakuiert); Gefäß 4 = Dewargefäß (doppelwandig, evakuiert und verspiegelt).//\\
+^ ^ Wärmeaustausch durch ^^^
+^ ^ Konvektion ^ Wärmeleitung ^ Wärmestrahlung ^
+| Gefäß 1 | ja | ja | ja |
+| Gefäß 2 | nein | ja | ja |
+| Gefäß 3 | nein | nein | ja |
+| Gefäß 4 | nein | nein | nein |
+Bei allen Gefäßen wird zusätzlich Wärme über die Wasseroberfläche abgegeben. Die Gefäße sollten daher die gleiche Querschnittsfläche haben, damit dieser Störeffekt in allen Fällen gleich groß ist((Im Versuch hat Gefäß 1 eine etwas kleinere Querschnittsfläche als die anderen Gefäße. Der dadurch hervorgerufene Fehler kann aber bei der Auswertung vernachlässigt werden.)).
+Das Ziel des Versuchs ist es, aus den verschiedenen Geschwindigkeiten, mit denen sich das Wasser in den Gefäßen abkühlt, abzuschätzen, wie viel die einzelnen Mechanismen (Konvektion,
+Wärmeleitung und Wärmestrahlung) zum Temperaturausgleich beitragen.
+==== Grundlagen =====
+Da die Abkühlgeschwindigkeit eines Körpers nur von der Temperaturdifferenz zu seiner Umgebung abhängt, ist es zweckmäßig, mit der zeitabhängigen Differenz zwischen Wassertemperatur <latex>T(t)</latex> und Umgebungstemperatur <latex>T_U</latex>, der so genannten Übertemperatur <latex>\theta(t) = T(t) - T_{U}</latex>, zu rechnen.
+Ein Körper kühlt umso schneller ab, je größer die Temperaturdifferenz zur Umgebung ist:
+<latex> $\begin{align*}
+-\frac{d\theta}{dt} \sim \theta .
+\end{align*}$ </latex> (1)
+Diese Proportionalität lässt sich mathematisch durch die Gleichung
+<latex> $\begin{align*}
+\frac{d\theta}{dt} = - a \cdot \theta
+\end{align*}$ </latex> (2)
+beschreiben.
+Das Minuszeichen besagt bei positiv eingeführter Konstante <latex> a </latex>, dass es sich mit fortschreitender Zeit um eine Abnahme der Temperatur handelt (<latex>dt > 0</latex> und <latex>d\theta < 0</latex>). Gleichung (2) wird durch die Exponentialfunktion erfüllt:
+<latex> $\begin{align*}
+\theta(t) = \theta(0) \cdot e^{-a \cdot t} ,
+\end{align*}$ </latex> (3)
+mit <latex>\theta(0) = \theta(t=0)</latex>.
+Trägt man für die vier Gefäße die gemessenen Übertemperaturen als Funktion der Zeit <latex>t</latex> auf, sollten sich fallende Exponentialfunktionen ergeben, die umso flacher verlaufen, je besser die Isolierung des jeweiligen Gefäßes ist (siehe Abbildung 1A).
+Ein Maß für die Wirksamkeit der Isolierung ist die Konstante <latex> a </latex> in der Exponentialfunktion in (3); sie gibt an, wie schnell die Temperatur mit der Zeit abfällt. Diese Konstante <latex> a </latex> heißt deshalb Abkühlrate; ihre Einheit ist <latex>[a] = \mathrm{min}^{-1}</latex>.
+{{:v5_1.png|Abbildung 1:}}\\
+//Abbildung 1: (A) Graphische Darstellung der Exponentialfunktion// <latex>\theta_{i}(t) = \theta(0) \cdot e^{-a_{i} \cdot t}</latex> //für vier verschiedene Werte// <latex>a_{1} > a_{2} > a_{3} > a_{4}</latex>//. (B) Auftragung der Funktionen// <latex>\ln{{(\theta_{i}(t)}/{\theta(0))}</latex>// gegen die Zeit// <latex> t </latex>.
+Da man aus der graphischen Darstellung der Exponentialfunktion die Konstante <latex> a </latex> schlecht ablesen kann, bedient man sich einer mathematischen Umformung, durch die sich der Abkühlprozess linear (d.h. als Gerade) darstellen lässt (siehe Abbildung 1B).
+Aus (3) folgt durch Umformung und anschließender Logarithmierung:
+<latex> $\begin{align*}
+\frac{\theta(t)}{\theta(0)} = e^{-a \cdot t}
+\end{align*}$ </latex> (4)
+<latex> $\begin{align*}
+\ln\left(\frac{\theta(t)}{\theta(0)}\right) = - a \cdot t .
+\end{align*}$ </latex> (5)
+Als Steigung der Geraden erhält man die negativen Abkühlraten <latex>-a_{1}, \ldots, -a_{4}</latex> der vier verschiedenen Gefäße (die Steigungsdreiecke zur Bestimmung der Geradensteigung sollten möglichst groß sein, damit die Fehler von <latex>a_{1}, \ldots, a_{4}</latex> klein bleiben, vgl. Übung Ü2).
+Die Wärmeenergie <latex> Q </latex>, die ein Körper der Masse <latex> m </latex> und der spezifischen Wärmekapazität <latex> c </latex> abgibt, wenn er sich um eine Temperaturdifferenz <latex>\theta</latex> abkühlt, ist
+<latex> $\begin{align*}
+Q = c \cdot m \cdot \theta .
+\end{align*}$ </latex> (6)
+Da sich in diesem Versuch die Übertemperatur <latex>\theta(t)</latex> mit der Zeit ändert (kleiner wird), ändert sich auch die abgegebene Wärmeenergie <latex>Q(t)</latex>. Die Änderung <latex>dQ/dt</latex> bezeichnet man als Wärmestrom oder Wärmestromstärke.
+Es gilt also
+<latex> $\begin{align*}
+\frac{dQ}{dt} = c \cdot m \cdot \frac{d\theta}{dt} .
+\end{align*}$ </latex> (7)
+Mit (2) folgt
+<latex> $\begin{align*}
+\frac{dQ}{dt} = - a \cdot c \cdot m \cdot \theta .
+\end{align*}$ </latex> (8)
+Im Experiment füllt man in alle Gefäße die gleiche Wassermenge. Dann kann man für eine bestimmte Übertemperatur (diese muss für alle vier Gefäße gleich sein) die Wärmeströme anhand der Abkühlraten <latex>a_{1}, \ldots, a_{4}</latex> vergleichen.
+Gefäß 1 und 2 unterscheiden sich z.B. gerade dadurch, dass bei Gefäß 2 die Konvektion ausgeschaltet ist. Die Differenz der Wärmeströme
+<latex> $\begin{align*}
+\frac{dQ_{1}}{dt} - \frac{dQ_{2}}{dt} = \frac{dQ_{K}}{dt} \sim (a_{1} - a_{2})
+\end{align*}$ </latex> (9)
+ergibt den durch Konvektion verursachten Wärmestrom <latex>dQ_{K}/dt</latex>, der der Differenz der
+Abkühlraten proportional ist. Entsprechend kann man die anderen Wärmeströme <latex>dQ_{L}/dt</latex> (Wärmeleitung) und <latex>dQ_{S}/dt</latex> (Wärmestrahlung) ermitteln.
+==== Aufgabenstellung ====
+Füllen Sie die vier Gefäße mit jeweils gleicher Wassermenge der Temperatur von etwa <latex>70~^{\circ}\mathrm{C}</latex> und warten Sie bis die Thermometer in den Gefäßen nicht mehr weiter steigen. Messen Sie die Raumtemperatur <latex>T_{U}</latex> und kontrollieren Sie in regelmäßigen Abständen, ob diese konstant bleibt. Messen Sie zehn Mal in Abständen von fünf Minuten die Wassertemperaturen in allen vier Gefäßen.
+**Auswertung**
+  - Stellen Sie <latex>\ln({\theta(t)}/{\theta(0)})</latex> als Funktion der Zeit <latex>t</latex> graphisch dar, und bestimmen Sie daraus die Abkühlraten <latex>a_{1}</latex> bis <latex>a_{4}</latex>.
+  - Berechnen Sie die Wärmeströme der vier Gefäße für eine Wassermenge der Masse <latex>m = 500~\mathrm{g}</latex> (spezifische Wärmekapazität von Wasser: <latex>c = 4.2~\mathrm{Ws/(gK)}</latex> und für eine Übertemperatur von <latex>50\,^{\circ}\mathrm{C}</latex>.
+  - Vergleichen Sie anhand dieser Wärmeströme die Effektivität der verschiedenen Isoliermaßnahmen.