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--- v5_thermische_isolierung [2009/03/24 13:15] – laehnemann
+++ v5_thermische_isolierung [2009/04/21 12:01] (current) – laehnemann
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+<texit info>
+author=laehnemann
+title=V5
+</texit>
+===== V5 - Versuchsanleitung =====
+^V5 | THERMISCHE ISOLIERUNG |
 ==== Einführung =====
-Warum tragen wir im Sommer und im Winter Kleidung aus unterschiedlichen
+Warum tragen wir im Sommer und im Winter Kleidung aus unterschiedlichen Materialien und unterschiedlicher Dicke?
-Materialien und unterschiedlicher Dicke?
 Warum hat die Kleidung der Astronauten als oberste Schicht eine dünne Aluminiumhaut?
-Die diesen Fragen zugrunde liegenden Mechanismen des Wärmetauschs
-zwischen einem System und seiner Umgebung sollen an einem einfachen
-Beispiel untersucht werden.
-Von einem Körper wird Wärmeenergie auf drei Arten an die
+Die diesen Fragen zugrunde liegenden Mechanismen des Wärmeaustauschs zwischen einem System und seiner Umgebung sollen an einem einfachen Beispiel untersucht werden.
-(kältere) Umgebung abgegeben:
+Von einem Körper wird Wärmeenergie auf drei Arten an die (kältere) Umgebung abgegeben:
   * durch Konvektion (Wärmetransport, der mit Materietransport verbunden ist);
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 Geben Sie Beispiele für diese verschiedenen Transportmechanismen an.
-Bei den vier im Versuch verwendeten und mit Wasser gefüllten
+Bei den vier im Versuch verwendeten und mit Wasser gefüllten Gefäßen werden von Gefäß zu Gefäß die Möglichkeiten des Wärmeaustauschs ausgeschaltet (siehe Tabelle 1).
-Gefäßen werden von Gefäß
-zu Gefäß die Möglichkeiten des Wärmeaustauschs
-ausgeschaltet (siehe Tabelle 1).
-Tabelle 1: Arten des Wärmeaustauschs in unterschiedlichen Glasgefäßen: Gefäß 1 = einfaches Glasgefäß; Gefäß 2 = doppelwandiges Glasgefäß; Gefäß 3 = doppelwandiges Glasgefäß (evakuiert); Gefäß 4 = Dewargefäß (doppelwandig, evakuiert und verspiegelt).
+//Tabelle 1: Arten des Wärmeaustauschs in unterschiedlichen Glasgefäßen: Gefäß 1 = einfaches Glasgefäß; Gefäß 2 = doppelwandiges Glasgefäß; Gefäß 3 = doppelwandiges Glasgefäß (evakuiert); Gefäß 4 = Dewargefäß (doppelwandig, evakuiert und verspiegelt).//\\
 ^ ^ Wärmeaustausch durch ^^^
 ^ ^ Konvektion ^ Wärmeleitung ^ Wärmestrahlung ^
@@ Line 30: / Line 33: @@
 | Gefäß 4 | nein | nein | nein |
-Bei allen Gefäßen wird zusätzlich Wärme über die
+Bei allen Gefäßen wird zusätzlich Wärme über die Wasseroberfläche abgegeben. Die Gefäße sollten daher die gleiche Querschnittsfläche haben, damit dieser Störeffekt in allen Fällen gleich groß ist((Im Versuch hat Gefäß 1 eine etwas kleinere Querschnittsfläche als die anderen Gefäße. Der dadurch hervorgerufene Fehler kann aber bei der Auswertung vernachlässigt werden.)).
-Wasseroberfläche abgegeben.
-Die Gefäße sollten daher die gleiche Querschnittsfläche
-haben, damit dieser Störeffekt in allen Fällen gleich
-groß ist((Im Versuch hat Gefäß 1 eine etwas
-kleinere Querschnittsfläche als die anderen Gefäße.
-Der dadurch hervorgerufene Fehler kann aber bei der Auswertung
-vernachlässigt werden.)).
-Das Ziel des Versuchs ist es, aus den verschiedenen Geschwindigkeiten,
+Das Ziel des Versuchs ist es, aus den verschiedenen Geschwindigkeiten, mit denen sich das Wasser in den Gefäßen abkühlt, abzuschätzen, wie viel die einzelnen Mechanismen (Konvektion,
-mit denen sich das Wasser in den Gefäßen abkühlt,
+Wärmeleitung und Wärmestrahlung) zum Temperaturausgleich beitragen.
-abzuschätzen, wie viel die einzelnen Mechanismen (Konvektion,
-Wärmeleitung und Wärmestrahlung) zum Temperaturausgleich
-beitragen.
 ==== Grundlagen =====
-Da die Abkühlungsgeschwindigkeit eines Körpers nur von
+Da die Abkühlgeschwindigkeit eines Körpers nur von der Temperaturdifferenz zu seiner Umgebung abhängt, ist es zweckmäßig, mit der zeitabhängigen Differenz zwischen Wassertemperatur <latex>T(t)</latex> und Umgebungstemperatur <latex>T_U</latex>, der so genannten Übertemperatur <latex>\theta(t) = T(t) - T_{U}</latex>, zu rechnen.
-der Temperaturdifferenz zu seiner Umgebung abhängt, ist es
-zweckmäßig, mit der zeitabhängigen Differenz zwischen
-Wassertemperatur <m>T(t)</m> und Umgebungstemperatur <m>T_U</m>,
-der so genannten Übertemperatur <m>\theta(t) = T(t) - T_{U}</m>,
-zu rechnen.
 Ein Körper kühlt umso schneller ab, je größer die Temperaturdifferenz zur Umgebung ist:
-<m 14>~~~~- {d\theta}/{dt} sim \theta .~~~</m> (1)
+<latex> $\begin{align*}
+-\frac{d\theta}{dt} \sim \theta .
+\end{align*}$ </latex> (1)
-Diese Proportionalität  lässt sich mematisch durch die
+Diese Proportionalität lässt sich mathematisch durch die Gleichung
-Gleichung
-<m 14>~~~~
+<latex> $\begin{align*}
-{d\theta}/{dt} = - a \theta ~~~</m> (2)
+\frac{d\theta}{dt} = - a \cdot \theta
+\end{align*}$ </latex> (2)
 beschreiben.
-Das Minuszeichen besagt bei positiv eingeführter Konstante <m>a</m>,
-dass es sich mit fortschreitender Zeit um eine Abnahme der Temperatur
-handelt (<m>dt > 0</m> und <m>d\theta < 0</m>).
-Eine Funktion, die die Gleichung (2) erfüllt, ist die
-Exponentialfunktion
-<m 14>~~~~
+Das Minuszeichen besagt bei positiv eingeführter Konstante <latex> a </latex>, dass es sich mit fortschreitender Zeit um eine Abnahme der Temperatur handelt (<latex>dt > 0</latex> und <latex>d\theta < 0</latex>). Gleichung (2) wird durch die Exponentialfunktion erfüllt:
-\theta(t) = \theta(0) e^{-a t} ,~~~</m> (3)
+<latex> $\begin{align*}
+\theta(t) = \theta(0) \cdot e^{-a \cdot t} ,
+\end{align*}$ </latex> (3)
-mit <m>\theta(0) = \theta(t=0)</m>.
-Trägt man für die vier Gefäße die gemessenen
-Übertemperaturen als Funktion der Zeit <m>t</m> auf, sollten sich
-fallende Exponentialfunktionen ergeben, die umso flacher verlaufen,
-je besser die Isolierung des jeweiligen Gefäßes ist
-(siehe Abbildung 1A).
-Ein Maß für die Wirksamkeit der Isolierung ist die Konstante <m>a</m> in
+mit <latex>\theta(0) = \theta(t=0)</latex>.
-der Exponentialfunktion in (3); sie gibt an, wie schnell die
+Trägt man für die vier Gefäße die gemessenen Übertemperaturen als Funktion der Zeit <latex>t</latex> auf, sollten sich fallende Exponentialfunktionen ergeben, die umso flacher verlaufen, je besser die Isolierung des jeweiligen Gefäßes ist (siehe Abbildung 1A).
-Temperatur mit der Zeit abfällt.
-Die Konstante <m>a</m> heißt Abkühlrate;
+Ein Maß für die Wirksamkeit der Isolierung ist die Konstante <latex> a </latex> in der Exponentialfunktion in (3); sie gibt an, wie schnell die Temperatur mit der Zeit abfällt. Diese Konstante <latex> a </latex> heißt deshalb Abkühlrate; ihre Einheit ist <latex>[a] = \mathrm{min}^{-1}</latex>.
-ihre Einheit ist <m>{[}a{]} = min^{-1}</m>.
 {{:v5_1.png|Abbildung 1:}}\\
-//Abbildung 1: (A) Graphische Darstellung der Exponentialfunktion// <m>\theta_{i}(t) = \theta(0) e^{-a_{i} t}</m>
+//Abbildung 1: (A) Graphische Darstellung der Exponentialfunktion// <latex>\theta_{i}(t) = \theta(0) \cdot e^{-a_{i} \cdot t}</latex> //für vier verschiedene Werte// <latex>a_{1} > a_{2} > a_{3} > a_{4}</latex>//. (B) Auftragung der Funktionen// <latex>\ln{{(\theta_{i}(t)}/{\theta(0))}</latex>// gegen die Zeit// <latex> t </latex>.
-//für vier verschiedene Werte// <m>a_{1} > a_{2} > a_{3} > a_{4}</m>//. (B)
-Auftragung der Funktionen// <m>\ln{{(\theta_{i}(t)}/{\theta(0))}</m>// gegen die Zeit//
-<m>t</m>.
-Da man aus der graphischen Darstellung der Exponentialfunktion die
+Da man aus der graphischen Darstellung der Exponentialfunktion die Konstante <latex> a </latex> schlecht ablesen kann, bedient man sich einer mathematischen Umformung, durch die sich der Abkühlprozess linear (d.h. als Gerade) darstellen lässt (siehe Abbildung 1B).
-Konstante <m>a</m> schlecht ablesen kann, bedient man sich einer
-mematischen Umformung, durch die sich der Abkühlprozess linear
-(d.h. als Gerade) darstellen lässt (siehe Abbildung 1B).
-Aus (3) folgt durch Umformung und anschließender
-Logarithmierung:
-<m 14>~~~~ {\theta(t)}/{\theta(0)} = e^{-a t}~~~</m> (4)
+Aus (3) folgt durch Umformung und anschließender Logarithmierung:
- \\
+<latex> $\begin{align*}
+\frac{\theta(t)}{\theta(0)} = e^{-a \cdot t}
+\end{align*}$ </latex> (4)
-<m 14>~~~~ \ln({\theta(t)}/{\theta(0)}) = - a t .~~~</m> (5)
+<latex> $\begin{align*}
+\ln\left(\frac{\theta(t)}{\theta(0)}\right) = - a \cdot t .
+\end{align*}$ </latex> (5)
- \\
+Als Steigung der Geraden erhält man die negativen Abkühlraten <latex>-a_{1}, \ldots, -a_{4}</latex> der vier verschiedenen Gefäße (die Steigungsdreiecke zur Bestimmung der Geradensteigung sollten möglichst groß sein, damit die Fehler von <latex>a_{1}, \ldots, a_{4}</latex> klein bleiben, vgl. Übung Ü2).
-Als Steigung der Geraden erhält man die negativen Abkühlraten
+Die Wärmeenergie <latex> Q </latex>, die ein Körper der Masse <latex> m </latex> und der spezifischen Wärmekapazität <latex> c </latex> abgibt, wenn er sich um eine Temperaturdifferenz <latex>\theta</latex> abkühlt, ist
-<m>-a_{1}, \cdots, -a_{4}</m> der vier verschiedenen Gefäße
-(die Steigungsdreiecke zur Bestimmung der Geradensteigung sollten
-möglichst groß sein, damit die Fehler von <m>a_{1}, \cdots a_{4}</m>
-klein bleiben, vgl. Übung Ü2).
-Die Wärmeenergie <m>Q</m>, die ein Körper der Masse <m>m</m> und der
+<latex> $\begin{align*}
-spezifischen Wärmekapazität <m>c</m> abgibt, wenn er sich um eine
+Q = c \cdot m \cdot \theta .
-Temperaturdifferenz <m>\theta</m> abkühlt, ist
+\end{align*}$ </latex> (6)
-<m 14>~~~~
+Da sich in diesem Versuch die Übertemperatur <latex>\theta(t)</latex> mit der Zeit ändert (kleiner wird), ändert sich auch die abgegebene Wärmeenergie <latex>Q(t)</latex>. Die Änderung <latex>dQ/dt</latex> bezeichnet man als Wärmestrom oder Wärmestromstärke.
-Q = c m \theta .~~~</m> (6)
-Da sich in diesem Versuch die Übertemperatur <m>\theta(t)</m> mit der
-Zeit ändert (kleiner wird), ändert sich auch die abgegebene
-Wärmeenergie <m>Q(t)</m>.
-Die Änderung <m>dQ/dt</m> bezeichnet man als
-Wärmestrom oder Wärmestromstärke.
 Es gilt also
-<m 14>~~~~
+<latex> $\begin{align*}
-{dQ}/{dt} = c m {d\theta}/{dt} .~~~</m> (7)
+\frac{dQ}{dt} = c \cdot m \cdot \frac{d\theta}{dt} .
+\end{align*}$ </latex> (7)
 Mit (2) folgt
-<m 14>~~~~
+<latex> $\begin{align*}
-{dQ}/{dt} = - a c m \theta .~~~</m> (8)
+\frac{dQ}{dt} = - a \cdot c \cdot m \cdot \theta .
+\end{align*}$ </latex> (8)
+Im Experiment füllt man in alle Gefäße die gleiche Wassermenge. Dann kann man für eine bestimmte Übertemperatur (diese muss für alle vier Gefäße gleich sein) die Wärmeströme anhand der Abkühlraten <latex>a_{1}, \ldots, a_{4}</latex> vergleichen.
+Gefäß 1 und 2 unterscheiden sich z.B. gerade dadurch, dass bei Gefäß 2 die Konvektion ausgeschaltet ist. Die Differenz der Wärmeströme
-Im Experiment füllt man in alle Gefäße die gleiche
+<latex> $\begin{align*}
-Wassermenge.
+\frac{dQ_{1}}{dt} - \frac{dQ_{2}}{dt} = \frac{dQ_{K}}{dt} \sim (a_{1} - a_{2})
-Dann kann man für eine bestimmte Übertemperatur
+\end{align*}$ </latex> (9)
-(diese muss für alle vier Gefäße gleich sein)
-die Wärmeströme anhand der Abkühlraten <m>a_{1}, \cdots, a_{4}</m>
-vergleichen.
-Gefäß 1 und 2 unterscheiden sich z.B. gerade dadurch, dass bei
-Gefäß 2 die Konvektion ausgeschaltet ist.
-Die Differenz der Wärmeströme
-<m 14>~~~~
+ergibt den durch Konvektion verursachten Wärmestrom <latex>dQ_{K}/dt</latex>, der der Differenz der
-{dQ_{1}}/{dt} - {dQ_{2}}/{dt} =
+Abkühlraten proportional ist. Entsprechend kann man die anderen Wärmeströme <latex>dQ_{L}/dt</latex> (Wärmeleitung) und <latex>dQ_{S}/dt</latex> (Wärmestrahlung) ermitteln.
-{dQ_{K}}/{dt} \sim (a_{1} - a_{2})~~~</m> (9)
-ergibt den durch Konvektion verursachten Wärmestrom
-<m>dQ_{K}/dt</m>, der der Differenz der
-Abkühlraten proportional ist.
-Entsprechend kann man die anderen Wärmeströme
-<m>dQ_{L}/dt</m> (Wärmeleitung)
-und <m>dQ_{S}/dt</m> (Wärmestrahlung) ermitteln.
 ==== Aufgabenstellung ====
-Füllen Sie die vier Gefäße mit jeweils gleicher Wassermenge der Temperatur von etwa <m>70^{\circ}C</m> und warten Sie bis die Thermometer in den Gefäßen nicht mehr weiter steigen.
+Füllen Sie die vier Gefäße mit jeweils gleicher Wassermenge der Temperatur von etwa <latex>70~^{\circ}\mathrm{C}</latex> und warten Sie bis die Thermometer in den Gefäßen nicht mehr weiter steigen. Messen Sie die Raumtemperatur <latex>T_{U}</latex> und kontrollieren Sie in regelmäßigen Abständen, ob diese konstant bleibt. Messen Sie zehn Mal in Abständen von fünf Minuten die Wassertemperaturen in allen vier Gefäßen.
-Messen Sie die Raumtemperatur <m>T_{U}</m> und kontrollieren Sie in regelmäßigen Abständen, ob sie konstant bleibt.
-Messen Sie zehn Mal in Abständen von fünf Minuten die Wassertemperaturen in allen vier Gefäßen.
 **Auswertung**
-  - Stellen Sie <m>\ln({\theta(t)}/{\theta(0)})</m> als Funktion der Zeit <m>t</m> graphisch dar, und bestimmen Sie daraus die Abkühlraten <m>a_{1}</m> bis <m>a_{4}</m>.
+  - Stellen Sie <latex>\ln({\theta(t)}/{\theta(0)})</latex> als Funktion der Zeit <latex>t</latex> graphisch dar, und bestimmen Sie daraus die Abkühlraten <latex>a_{1}</latex> bis <latex>a_{4}</latex>.
-  - Berechnen Sie die Wärmeströme der vier Gefäße für eine Wassermenge der Masse <m>m = 500</m> g (spezifische Wärmekapazität von Wasser: <m>c = 4.2</m> Ws/(gK)) und für eine Übertemperatur von <m>50~^{\circ}</m>C.
+  - Berechnen Sie die Wärmeströme der vier Gefäße für eine Wassermenge der Masse <latex>m = 500~\mathrm{g}</latex> (spezifische Wärmekapazität von Wasser: <latex>c = 4.2~\mathrm{Ws/(gK)}</latex> und für eine Übertemperatur von <latex>50\,^{\circ}\mathrm{C}</latex>.
   - Vergleichen Sie anhand dieser Wärmeströme die Effektivität der verschiedenen Isoliermaßnahmen.