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V6 - Versuchsanleitung

V6	ELEKTRISCHER WIDERSTAND

Einleitung

Dieser Versuch soll Ihnen die elektrischen Größen Stromstärke, Spannung und Widerstand veranschaulichen und einfache Methoden ihrer Bestimmung aufzeigen. Aus dem Umgang mit elektrischem Strom im Haushalt wird jeder Begriffe wie Spannung und Strom kennen; wäre es aber möglich, ein lektrisches Gerät mit 2 kW Leistung an eien Steckdose anzuschliessen, die mit einer 10 A Sicherung abgesichert ist? Wieviel Strom (genauer Energie) wird es verbrauchen?

Im Organismus haben wir es mit einer Vielzahl von elektrischen Vorgängen zu tun: Nervenzellen beispielsweise besitzen ein negatives Ruhemembranpotential von 70-80 mV; die Nervenleitung ist das Resultat einer kurzfristigen Ionenverschiebung über die Zellmembran. Auch in der medizinischen Diagnostik beruhen zahlreiche Verfahren auf der Registrierung von Spannungen: EKG (Elektrokardiogramm), EEG (Elektroenzephalographie), ERG (Elektroretinographie), EMG (Elektromyographie).

Anwendungsbeispiele elektrischer Ströme in der Medizin: Defibrillation, Konversion, Herzschrittmacher. Widerstandsmessung der Haut: Hautgalvanische Reaktion (HGR) als psycho-vegetatives Maß.

Aufgabenstellung

1. Strom- und Spannungsmessung an zwei Widerständen
Es soll ein einfacher Stromkreis bestehend aus einer Spannungsquelle, einem oder zwei Widerständen $R_{x1}$ bzw. $R_{x2}$ und Messgeräten für Strom $I$ und Spannung $U$ aufgebaut werden (siehe Abbildung 1).
Die Messwerte für $U$ und $I$ in Abhängigkeit von $R_x$ werden in tabellarischer Form (siehe Tabelle 1) im Protokoll notiert.

Bild 1 Abbildung 1: Stromkreis zur Bestimmung des Stroms $I$ und des Spannungsabfalls $U$ am Widerstand $R_x$ .

2. Bestimmung des Widerstands

Bestimmen Sie jeweils die Einzelwiderstände $R_{x1}$ und $R_{x2}$ aus Messungen von Strom $I$ und Spannung $U$ .
Bestimmen Sie den Widerstand der in Serie (Reihe) geschalteten Widerstände $R_{x1}$ und $R_{x2}$ (siehe Abbildung 2A).
Bestimmen Sie den Widerstand der parallel geschalteten Widerstände $R_{x1}$ und $R_{x2}$ (siehe Abbildung 2B).

Bild 2 Abbildung 2: (A) Serienschaltung (Reihenschaltung) zweier Widerstände $R_{x1}$ und $R_{x2}$ . (B) Parallelschaltung zweier Widerstände $R_{x1}$ und $R_{x2}$ .

3. Potentiometerschaltung und Messung von Strom und Spannung an einer Glühlampe
Messen Sie den Strom $I$ und die Spannung $U$ anhand des in Abbildung 3 dargestellten Schaltkreises und erstellen Sie ein $I(U)$ -Diagramm (Kennlinie). Wie verhält sich der Widerstand $R$ der Metallfadenlampe mit zunehmender Temperatur?

Bild 3 Abbildung 3: Schaltkreis zur Messung von Strom und Spannung an einer Glühlampe. P = Potentiometer.

4. Präzisionsmessung von Widerständen mit Hilfe der Wheatstoneschen Brücke
Es sollen zwei Widerstände $R_x = R_{x1}$ und $R_x = R_{x2}$ mit Hilfe des in Abbildung 4 dargestellten Schaltkreises bestimmt werden. Vergleichen Sie die Messergebnisse mit denen aus Aufgabenteil 1 und überlegen Sie wovon die Genauigkeit der beiden Messmethoden abhängt.

Bild 4 Abbildung 4: Schaltkreis zur Präzisionsmessung des Widerstands $R_x$ . $R_{V}$ ist ein Vergleichswiderstand.

Versuchsdurchführung

1. Zur Strom- und Spannungsmessung an Widerständen

Als Messgeräte werden im Praktikum sogenannte Multimeter verwendet. Mit ihnen können verschiedene elektrische Größen wie z.B. der Strom, die Spannung und auch Ohmsche Widerstände gemessen werden.

Beim Anschluss der Geräte achte man auf

die Messgröße (Gleichstrom/Wechselstrom bzw. Gleichspannung/Wechselspannung) und den Messbereich. Man schätzt die Höhe der maximal zu erwartenden Spannungen und Ströme ab, wählt zunächst einen höheren Messbereich und kann später auf empfindlichere Bereiche umschalten. Der Messbereich entspricht der Anzeige bei Vollausschlag. Achten Sie auf die zugehörige Teilung (30 oder 100 Einheiten) und lesen Sie parallaxenfrei ab.

die Polung der Messgeräte (Plus mit Plus, Minus mit Minus verbinden!). Zeichnen Sie die richtige Polung von Spannungsquelle und Messgerät in die Schaltskizze ein. Der Innenwiderstand bei der Spannungsmessung beträgt $R_{i} = 40$ k $\Omega$ /V, also $120$ k $\Omega$ im 3-V-Bereich. Der Strom, der durch das Instrument fließt, ist daher im Vergleich zum Strom, der durch den Widerstand $R_x$ fließt, zu vernachlässigen.

2. Zur Bestimmung des Widerstands

Die Ergebnisse aus den Aufgabenteilen 1 und 2 können in der folgenden Tabelle notiert werden.

Tabelle 1: Auswertung von Aufgabenteil 1 und 2:

	$~U~$	$~I~$	$R_x = U/I$	$R_x$
$R_x = R_{x1}$				$39~\Omega \pm 5~\%$ (Herstellerangabe)
$R_x = R_{x2}$				$68~\Omega \pm 5~\%$ (Herstellerangabe)
Serienschaltung
Parallelschaltung

Verwenden Sie zur Berechnung des Gesamtwiderstands $R_x$ im Falle der Serienschaltung von $R_{x1}$ und $R_{x2}$ (siehe Abbildung 2A) die Beziehung

$R_x = R_{x1} + R_{x2} ,$ (1)

und im Falle der Parallelschaltung von $R_{x1}$ und $R_{x2}$ (siehe Abbildung 2B) die Beziehung

$~\frac{1}{R_x} = \frac{1}{R_{x1}} + \frac{1}{R_{x2}} .~$ (2)

3. Zur Potentiometerschaltung und Messung von Strom und Spannung an einer Glühlampe

Entscheiden Sie sich wie die Spannungsquelle gepolt werden soll und bestimmen Sie entsprechend der Skizze (Abbildung 3) wie die Polung der Messgeräte zu erfolgen hat. Es sollen mindestens sechs Messwerte für Strom und Spannung ermittelt werden. Auf Millimeterpapier (in den Praktikumsräumen erhältlich) werden Achsen mit geeignetem Maßstab (Spannung $U$ als Abszisse, Strom $I$ als Ordinate) gewählt, die Messwerte eingetragen und eine Ausgleichskurve eingezeichnet.

4. Zur Präzisionsmessung von Widerständen

Bei der praktischen Ausführung der Wheatstoneschen Messbrücke sind $R_{a}$ und $R_{b}$ in Abbildung 4 durch einen Schiebewiderstand ersetzt (siehe Abbildung 5). Er besteht aus einem $100$ cm langen Draht mit verschiebbarem Schleifkontakt S, mit dem das Instrument auf Stromlosigkeit ( $I = 0$ ) geregelt wird.

Bild 5 Abbildung 5: Schaltkreis zur Präzisionsmessung eines unbekannten Widerstands $R_x$ . $R_{V}$ ist ein bekannter Vergleichswiderstand, $a$ und $b$ sind Drahtlängen bei entsprechender Einstellung des Schleifkontakts S.

Dann gilt

$~R_x = R_{V} \frac{R_{a}}{R_{b}} = R_{V} \frac{a}{b} ,~$ (3)

mit $R_{a} = \rho a/A$ und $R_{b} = \rho b/A$ . $\rho$ ist der spezifische Widerstand des Schleifdrahts und $A$ ist die Drahtquerschnittsfläche. Das Längenverhältnis $a/b$ kann direkt auf einer zweiten Skala am Schiebewiderstand abgelesen werden. $R_{S}$ ist ein im Instrument eingebauter Schutzwiderstand, der zur Feineinstellung durch den Taster K überbrückt werden kann.

Als $R_{V}$ benützen Sie einen Stöpsel-Rheostaten (siehe Abbildung 6). $R_{V}$ ist dabei die Summe der nicht durch Stöpsel kurzgeschlossenen Widerstände. Stecken Sie niemals alle Stöpsel gleichzeitig ein, da sonst Kurzschlussgefahr droht!

Bild 6 Abbildung 6: Schematische Darstellung eines Stöpsel-Rheostaten.

Bauen Sie die Brückenschaltung systematisch nach der Abbildung 5 auf. Stellen Sie den Schleifer S etwa auf Schleifdrahtmitte ( $a \approx b$ ). Nach dem Einschalten wird das Strommessinstrument in der Regel bis zum Skalenende ausschlagen. Ziehen Sie so viele Stöpsel des Rheostaten, bis das Instrument nur wenig Stromfluss anzeigt. Mit dem Schleifer regeln Sie nun auf Stromlosigkeit ( $I = 0$ ). Zur Empfindlichkeitserhöhung betätigen Sie den Taster K und gleichen fein ab. Tragen Sie die Werte für $R_{V}$ und $a/b$ in tabellarischer Form (siehe Tabelle 2) in Ihr Protokollheft ein.

Tabelle 2: Auswertung von Aufgabenteil 4:

	$R_{V}$	$a/b$	$R_x = R_{V} a/b$	$R_x$ (aus Aufgabenteil 1)
$R_{x1}$
$R_{x2}$

Stichwörter zum vorliegenden Versuch

Elektrischer Strom

Unter elektrischem Strom wird die Bewegung von elektrischen Ladungen verstanden. In Metallen sind Elektronen die Träger dieser Ladung. Eine Stromleitung ist auch durch Ionen möglich (z.B. in Lösungen und Gasen). Als technische Stromrichtung vereinbart ist die Richtung Pluspol $\to$ Minuspol, also entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung der Elektronen.

Stromstärke

Die Stromstärke $I$ ist die durch eine Querschnittsfläche $A$ pro Zeitintervall $\Delta t$ fließende Ladungsmenge $\Delta Q$ . Verändert sich der Strom während des Zeitintervalls $\Delta t$ , so verkleinert man $\Delta t$ so lange, bis der Strom als konstant angenommen werden kann. Die Stromstärke eines zeitlich veränderlichen Stroms in einem Leiter zur Zeit $t$ ist also die Ladungsmenge ${d}Q$ , die in einem infinitesimal kleinen Zeitintervall ${d}t$ durch den Leiterquerschnitt fließt:

$~\mathrm{Elektrische~Stromstärke} = \frac{\mathrm{Ladung}}{\mathrm{Zeit}}~$ (4)

$~I = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta Q}{\Delta t} = \frac{d}Q}{d}t}~$ (5)

Die Stromstärke ist eine SI-Basisgröße. Die SI-Einheit des elektrischen Stroms $I$ ist das Ampere (A): $[I] = 1$ A.

Gleichstrom

Stromrichtung (Polarität) und Stromstärke $I$ sind zeitlich konstant. Es folgt dann aus (5): $I = Q/t$ .

Wechselstrom

Stromrichtung und Stromstärke $I$ ändern sich zeitlich periodisch.

Elektrische Spannung

Anschaulich: Antriebsgröße für das Fließen des elektrischen Stroms. Damit überhaupt ein Strom fließen kann, bedarf es einer Ursache, einer Potentialdifferenz zwischen zwei Polen einer Spannungsquelle. An dem einen Pol der Quelle besteht Elektronenmangel (positiv), und an dem anderen Pol besteht Elektronenüberschuss (negativ). Die Potentialdifferenz bezeichnet man als elektrische Spannung.

Die SI-Einheit der elektrischen Spannung $U$ ist das Volt (V): $[U] = 1$ V. $1$ V beträgt die Spannung, wenn für die Verschiebung einer Ladung $Q = 1$ C die Arbeit $W = 1$ J aufgewendet werden muss.

Elektrischer Widerstand

Jeder Leiter besitzt einen elektrischen Widerstand; der hindurchfließende Strom verliert einen Teil seiner Energie, die in Wärme umgesetzt wird. Der Widerstand $R$ ist das Verhältnis von Spannung $U$ zu Stromstärke $I$ :

$~R = \frac{U}{I} .~$ (6)

Die SI-Einheit für den elektrischen Widerstand $R$ ist das Ohm ( $\Omega$ ): $[R] = 1~\Omega$ . Verhalten sich Spannung und Stromstärke bei konstanter Temperatur $T$ zueinander proportional, so handelt es sich um einen Ohmschen Widerstand; $R$ ist dann konstant. Es gilt dann das Ohmsche Gesetz: $I \sim U$ bzw. $R = {const.}$ , wobei $\Delta T = 0$ . Metalle sind in guter Näherung Ohmsche Widerstände.

Widerstand eines Drahts

Der Widerstand eines Metalldrahts ist proportional zur Drahtlänge $l$ und umgekehrt proportional dem Drahtquerschnitt $A$ . Die Proportionalitätskonstante ist der spezifische Widerstand $\rho$ :

$~R = \rho \frac{l}{A} .~$ (7)

Der spezifische Widerstand ist eine materialabhängige Größe (siehe Tabelle 3), die unabhängig von der Geometrie des Leiters ist.

Tabelle 3: Spezifischer Widerstand einiger Metalle, Legierungen und Isolatoren bei $20~^{\circ}$ C

Material	$\rho/(\Omega {m})$
Silber	$1.6 10^{-8}$
Kupfer	$1.7 10^{-8}$
Aluminium	$2.8 10^{-8}$
Wolfram	$5.5 10^{-8}$
Eisen	$9.9 10^{-8}$
Blei	$2.1 10^{-7}$
Konstantan	$4.4 10^{-7}$
Chromnickel	$1.1 10^{-6}$
Holz (trocken)	$10^{9} s 10^{13}$
Glas	$10^{11} s 10^{12}$
Hartgummi	$10^{13} s 10^{16}$
Quarzglas	$10^{13} s 10^{15}$

\end{tabular} \end{center} \end{table}

Elektrische Leistung

Die elektrische Leistung $P<latex> ist das Produkt aus Spannung <latex>U<latex> und Stromstärke <latex>I<latex>: <latex>~P = U I .~$ (8)

Die SI-Einheit für die elektrische Leistung ist das Watt (W): $[P] = 1$ VA $= 1$ W $= 1$ J/s.

Elektrische Arbeit

Bei zeitlich konstanter Leistung ist die elektrische Arbeit $W<latex> das Produkt aus elektrischer Leistung <latex>P<latex> und Zeit <latex>t<latex>: <latex>~W = P t .~$ (9)

Die SI-Einheit für die elektrische Arbeit ist das Joule (J): $[W] = 1$ Ws = $1$ Nm $= 1$ J.

Einfacher elektrischer Stromkreis

Ein einfacher elektrischer Stromkreis besteht aus einer Spannungsquelle und einem Verbraucher (z.B. ein elektrischer Widerstand $R$ , siehe Abbildung 7). Übertragen auf einen Flüssigkeitsstromkreis entspricht die Spannungsquelle einer Pumpe, die eine Druckdifferenz $\Delta p$ erzeugt (siehe Abbildung 8). Der Verbraucher ist hier z.B. ein Strömungswiderstand $R$ .

Bild 7 Abbildung 7: Elektrischer Stromkreis.

Bild 8 Abbildung 8: Flüssigkeitsstromkreis.

Knotenregel

An einem Verbindungspunkt von Leitern (Knoten) ist die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme (siehe Abbildung 9): $I_{1} + I_{2} = I_{3}$ .

Bild 9 Abbildung 9: Verbindungspunkt (Knoten).

Messung der Spannung

Ein Spannungsmesser wird parallel zum Messobjekt geschaltet (siehe Abbildung 10). Ein Messgerät zur Messung von Spannungen sollte einen hohen Innenwiderstand $R_{i}$ haben: $R_{i} \gg R$ .

Bild 10 Abbildung 10: Messung des Spannungsabfalls $U$ am Widerstand $R$ .

Messung der Stromstärke

Ein Strommesser wird in Reihe zum Messobjekt geschaltet (siehe Abbildung 11). Messgeräte zur Messung der Stromstärke $I$ sollten einen niedrigen Innenwiderstand $R_{i}$ besitzen: $R_{i} \to 0$ .

Bild 11 Abbildung 11: Messung der Stromstärke $I$ in einem Stromkreis.

Gleichzeitige Messung von Stromstärke und Spannung

Bei der gleichzeitigen Messung von Stromstärke und Spannung in einem Stromkreis (siehe Abbildung 12) tritt ein systematischer Fehler bei der Strommessung durch den Innenwiderstand $R_{i}$ des Spannungsmessers auf.

Bild 12 Abbildung 12: Schaltung 1.

Bild 13 Abbildung 13: Schaltung 2.

Welchen Nachteil hat die in Abbildung 13 dargestellte Schaltung zur gleichzeitigen Messung von Strom und Spannung?

Serienschaltung von Widerständen

Bei einer Serienschaltung von elektrischen Widerständen (siehe Abbildung 14) entspricht der Gesamtwiderstand $R_{s}$ der Summe der Einzelwiderstände $R_{i}$ :

$~R_{s} = \sum_{i=1}^{n} R_{i} = R_{1} + R_{2} + s + R_{n} .~$ (10)

Bild 14 Abbildung 14: Serienschaltung von Widerständen.

Parallelschaltung von Widerständen

Parallel geschaltete Widerstände (siehe Abbildung 15) addieren sich reziprok:

$~\frac{1}{R_{p}} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{R_{i} = \frac{1}{R_{1} + \frac{1}{R_{2} + s + \frac{1}{R_{n} .~$ (11)

Bild 15 Abbildung 15: Parallelschaltung von Widerständen.

Spannungsteiler

Betrachtet man den in Abbildung 16 dargestellten Schaltkreis, so folgt für die Stromstärke:

$~I = \frac{U_{0}{R_{s}} = \frac{U_{0}{R_{1} + R_{2} = \frac{U_{2}{R_{2} = \frac{U_{1}{R_{1}~$ (12)

Bild 16 Abbildung 16: Spannungsteilung. P = Potentiometer.

Durch Umformung von (12) folgt dann:

$~\frac{U_{2}{U_{0} = \frac{R_{2}{R_{1} + R_{2}~$ (13)

$~\frac{\mathrm{Teilspannung}}{\mahtrm{Gesamtspannung}} = \frac{\mathrm{Teilwiderstand}}{\mathrm{Gesamtwiderstand}}$

Werden $R_{1}$ und $R_{2}$ durch ein Potentiometer P (Widerstand mit variablem Abgriff) ersetzt, so kann $U_{2}$ kontinuierlich zwischen Null und $U_{0}$ variiert werden.

Wheatstonesche Brücke

Zeigt das Stromstärkemessinstrument der Wheatstoneschen Brücke (siehe Abbildung 17) keinen Strom ( $I = 0$ ), dann besteht zwischen den Punkten P $_{3}$ und P $_{4}$ keine Potentialdifferenz. Die Beziehung zwischen den vier Widerständen ist dann besonders einfach, weil an $R_x$ und $R_{a}$ gleiche Spannungen $U_x$ bzw. $U_{a}$ abfallen: $U_x = U_{a}$ . Ebenso gilt dann für $R_{V}$ und $R_{b}$ : $U_{V} = U_{b}$ .

Bild 17 Abbildung 17: Wheatstonesche Brücke. $I_{xV}$ und $I_{ab}$ sind die Ströme durch den oberen bzw. unteren Zweig der Schaltung.

Die Definitionsgleichung für den elektrischen Widerstand liefert:

Sind drei Widerstände bekannt, dann kann also der vierte (unbekannte) Widerstand im Fall der Stromlosigkeit nach $R_x = R_{V} R_{a}/R_{b}$ berechnet werden.

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